Seja
uma função de classe
tal que
, com
.
Determine a expressão de
.
Determine a expressão de
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma potencial f(x,y) dada a condição ∇f(x,y)=(2x−y cos x, 2−sen x) e f(0,0)=0. O conteúdo é de funções de múltiplas variáveis e usaremos integração de cada componente do gradiente para achar f.
Passo 2
Integramos a primeira componente ∂f/∂x=2x−y cos x em relação a x, tratando y como constante:
Aqui h(y) é uma função arbitrária de y.
Passo 3
Agora calculamos ∂f/∂y a partir da expressão obtida:
E igualamos ao valor dado 2−sen x:
Isso implica h’(y)=2.
Passo 4
Integramos h’(y)=2 em relação a y:
Logo f(x,y)=x^2−y\sin x+2y+C.
Passo 5
Usamos a condição inicial f(0,0)=0:
Portanto, C=0 e obtemos a forma final de f.