Seja f(x, y) uma função de classe C^2 tal que nabla f(x, y)=(2 x-y cos x, 2-sen x), com f(0,0)=0.
Determine a expressão de f(x, y).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma potencial f(x,y) dada a condição ∇f(x,y)=(2x−y cos x, 2−sen x) e f(0,0)=0. O conteúdo é de funções de múltiplas variáveis e usaremos integração de cada componente do gradiente para achar f.

Passo 2

Integramos a primeira componente ∂f/∂x=2x−y cos x em relação a x, tratando y como constante:
f(x,y)=integral(2x−ycos x),dx=x^2−ysin x+h(y)
Aqui h(y) é uma função arbitrária de y.

Passo 3

Agora calculamos ∂f/∂y a partir da expressão obtida:
∂f∂y=-sin x+h'(y)
E igualamos ao valor dado 2−sen x:
-sin x+h'(y)=2−sin x
Isso implica h’(y)=2.

Passo 4

Integramos h’(y)=2 em relação a y:
h(y)=2y+C
Logo f(x,y)=x^2−y\sin x+2y+C.

Passo 5

Usamos a condição inicial f(0,0)=0:
f(0,0)=0^2−0sin0+2·0+C=C=0
Portanto, C=0 e obtemos a forma final de f.

Resposta

f(x,y)=x^2 - ysin x + 2y

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