Seja f(x, y) uma função de classe C^2 tal que nabla f(x, y)=(2 x-y cos x, 2-sen x), com f(0,0)=0.
Calcule partial fpartial u(0,1), onde u=(-35, 45)

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de uma função f(x,y) de classe C², dada a expressão do gradiente ∇f(x,y)=(2x − y cos x, 2 − sen x) e a condição f(0,0)=0. Queremos calcular ∂f/∂u em (0,0) na direção u=(−3/5,4/5).

Passo 2

Para achar a derivada direcional usamos a definição
D_{\vec u}f(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)\cdot \vec u. Primeiro avaliamos o gradiente em (0,0). Como cos 0=1 e sen 0=0, temos
nabla f(0,0)=(2·0−0·cos0,;2−sin0)=(0,2)

Passo 3

Agora fazemos o produto escalar entre ∇f(0,0) e u:
Dvec uf(0,0)=(0,2)cdotl(−tfrac35,tfrac45r)=0·l(−tfrac35r)+2·tfrac45=tfrac85

Resposta

\tfrac{8}{5}

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