Determine a equação característica associada a equação diferencial y^prime prime-9 y^prime-9 y=0 :
Escolha uma opção:
r^2+2 r-3=0
r^2-9 r+9=0
r^2+3 r+2=0
6 r^2-r-1=0
r^2-2 r-2=0
Nenhuma das demais alternativas

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo $ y’’ - 9y’ - 9y = 0 $. A matéria que a gente está mexendo agora é sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver esse tipo de problema, a gente precisa encontrar a equação característica, que é uma maneira de transformar a equação diferencial em uma equação algébrica mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma equação diferencial da forma $ y’’ + a y’ + b y = 0 $, a equação característica é dada por $ r^2 + a r + b = 0 $. Essa equação nos ajuda a encontrar os valores de $ r $ que determinam a solução geral da equação diferencial.

Passo 3

Agora, vamos identificar os coeficientes da nossa equação diferencial:
  • O coeficiente de $ y’’ $ é 1.
  • O coeficiente de $ y’ $ é -9.
  • O coeficiente de $ y $ é -9.

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula da equação característica $ r^2 + a r + b = 0 $, temos:
r^2 + a r + b = 0
Que simplifica para:
r^2 + (-9) r + (-9) = 0

Passo 5

Agora, vamos comparar com as opções que foram dadas na questão:
  1. $ r^2 + 2r - 3 = 0 $
  2. $ r^2 - 9r + 9 = 0 $
  3. $ r^2 + 3r + 2 = 0 $
  4. $ 6r^2 - r - 1 = 0 $
  5. $ r^2 - 2r - 2 = 0 $
  6. Nenhuma das demais alternativas
A equação que encontramos foi $ r^2 - 9r - 9 = 0 $, que não está entre as opções listadas.

Resposta

Nenhuma das demais alternativas é a equação característica correta.

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