Questão 4. (2,0 pontos) Determine o volume do sólido que está entre
e a esfera
.
Passo 1
Estamos querendo o volume do sólido limitado pela esfera
e pelo cone circular duplo
. Isso envolve integrar em coordenadas esféricas, pois essas superfícies ficam bem fáceis nesse sistema.
Passo 2
Em coordenadas esféricas, fazemos as trocas
e o jacobiano é . A esfera vira
e o cone
dá
, ou seja
e
. Como queremos o interior do cone duplo, temos
e
.
e o jacobiano é
Passo 3
O volume em esféricas fica
Como as duas integrais em
são iguais por simetria, fazemos 2 vezes a integral de
a
.
Passo 4
Calculamos separadamente as integrais de
e de
:
E a integral em
é
.
Passo 5
Juntando tudo: