Questão 4. (2,0 pontos) Determine o volume do sólido que está entre z^2=x^2+y^2 e a esfera x^2+y^2+ z^2=2.

Passo 1

Estamos querendo o volume do sólido limitado pela esfera x^2+y^2+z^2=2 e pelo cone circular duplo z^2=x^2+y^2. Isso envolve integrar em coordenadas esféricas, pois essas superfícies ficam bem fáceis nesse sistema.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, fazemos as trocas
r^2sinphi
e o jacobiano é r=raiz2. A esfera vira z^2=x^2+y^2 e o cone tanphi=1 phi=tfracpi4, ou seja phi=tfrac3pi4 e 0<=phi<=tfracpi4. Como queremos o interior do cone duplo, temos tfrac3pi4<=phi<=pi e .

Passo 3

O volume em esféricas fica
V=integral0^2pi!integral0^pi/4!integral0^raiz2r^2sinphi,dr,dphi,dtheta +integral0^2pi!integral3pi/4^pi!integral0^raiz2r^2sinphi,dr,dphi,dtheta
Como as duas integrais em phi são iguais por simetria, fazemos 2 vezes a integral de 0 a pi/4.

Passo 4

Calculamos separadamente as integrais de r e de phi:
integral0^raiz2r^2,dr=(raiz2)^33=2raiz23,
integral0^pi/4sinphi,dphi=1-cospi4=1-raiz22
E a integral em theta é 2pi.

Passo 5

Juntando tudo:
V=2times2pitimes2raiz23timesl(1-raiz22r) =8raiz2pi3l(1-raiz22r) =8pi3(raiz2-1)

Resposta

V=8pi3(raiz2-1)

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