Seja f(x, y)=\left\{\begin{array}{lll}\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se } & (x, y) \neq(0,0) ; \\\\ 0, & \text { se } & (x, y)=(0,0) .\end{array}\right.
(a) Calcule o gradiente de f no ponto (0,0).
(b) Mostre que \frac{d}{d t} f(\gamma(t)) \neq \nabla f(\gamma(t)) \cdot \gamma^{\prime}(t) em t=0, onde \gamma(t)=(-t,-t).
(c) Seja \vec{u}=(m, n) um vetor unitário (isto é, m^{2}+n^{2}=1 ). Use a definição de derivada direcional para calcular \frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(0,0).
(d) É f diferenciável em (0,0) ? Justifique.
Pede (a) o gradiente em (0,0), (b) comparar \dfrac{d}{dt}f(\gamma(t)) com \nabla f\cdot\gamma' para \gamma(t)=(-t,-t), (c) derivada direcional em direção unitária \vec u=(m,n), e (d) verificar diferenciabilidade em (0,0). Vamos usar as definições de derivada parcial, de derivada direcional e o critério de diferenciabilidade.
para todo (m,n). Mas achamos \tfrac{\partial f}{\partial \vec u}(0,0)=m^3+n^3,
e em geral m^3+n^3\neq m+n. Portanto f não é diferenciável em (0,0).
Resposta
(a) \nabla f(0,0)=(1,1).
(b) \dfrac{d}{dt}f(\gamma(t))\big|_{t=0}=-1\neq -2=\nabla f(\gamma(0))\cdot\gamma'(0).
(c) \displaystyle\frac{\partial f}{\partial \vec u}(0,0)=m^3+n^3.
(d) f não é diferenciável em (0,0).