Seja
uma função de classe
em
e defina
, onde
é constante.
(a) Verifique que
onde
.
(b) Mostre que se
é uma solução da equação
então existem funções
e
de
em
tais que
[*Observação: O item (b) deste exercício foge do contexto desta lista, mas foi introduzido para completar o enunciado do resultado. Entretanto você pode resolver o item (b) com o conhecimento de cálculo que você tem! Reveja também o Exercício 7(a).]
(a) Verifique que
(b) Mostre que se
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função
de classe
em
e definimos
onde
e
. No item (a) precisamos usar a regra da cadeia para calcular
e
e mostrar que
No item (b) vamos ver que, se
satisfaz a equação homogênea
, então
e isso implica que
levando à forma clássica
Passo 2
Calculemos primeiro as derivadas parciais de
em relação a
. Pela regra da cadeia:
Como
e
, segue
Derivando novamente em
:
Substituindo
e
e lembrando
, obtemos
Passo 3
Agora calculamos
e
. De novo pela cadeia:
pois
e
. Então
Dessa forma,
Isto é,
com
que conclui o item (a).
Passo 4
Para o item (b), suponha que
satisfaz a equação homogênea
Pelo resultado do item (a), isso equivale a exigir
em todo
. Uma condição clássica de PDE diz que, se a derivada mista de segunda ordem é zero, então
se separa em soma:
onde
e
são funções de variável única. Voltando a
, obtemos
que é exatamente a forma geral procurada.