Seja v(r, s) uma função de classe \mathcal{C}^{2} em \mathbb{R}^{2} e defina u(x, t)=v(x+c t, x-c t), onde c é constante.
(a) Verifique que
u_{t t}(x, t)-c^{2} u_{x x}(x, t)=w(x+c t, x-c t),
onde w(r, s)=-4 c^{2} v_{r s}(r, s).
(b) Mostre que se u(x, t) é uma solução da equação u_{t t}=c^{2} u_{x x} então existem funções F e G de \mathbb{R} em \mathbb{R} tais que
u(x, t)=F(x+c t)+G(x-c t) \cdot[*]
[*Observação: O item (b) deste exercício foge do contexto desta lista, mas foi introduzido para completar o enunciado do resultado. Entretanto você pode resolver o item (b) com o conhecimento de cálculo que você tem! Reveja também o Exercício 7(a).]

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função v(r,s) de classe \mathcal{C}^2 em \mathbb{R}^2 e definimos
u(x,t)=v\bigl(r(x,t),\,s(x,t)\bigr),
onde r=x+ct e s=x-ct. No item (a) precisamos usar a regra da cadeia para calcular u_{tt} e u_{xx} e mostrar que
u_{tt}-c^2u_{xx}=w(r,s) \quad\text{com}\quad w(r,s)=-4c^2\,v_{rs}(r,s).
No item (b) vamos ver que, se u satisfaz a equação homogênea u_{tt}=c^2u_{xx}, então v_{rs}=0 e isso implica que
v(r,s)=F(r)+G(s),
levando à forma clássica
u(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct).

Passo 2

Calculemos primeiro as derivadas parciais de u em relação a t. Pela regra da cadeia:
u_t = v_r\,r_t + v_s\,s_t.
Como r_t=c e s_t=-c, segue
u_t = c\,v_r - c\,v_s = c\bigl(v_r - v_s\bigr).
Derivando novamente em t:
u_{tt} = c\bigl[(v_r)_t - (v_s)_t\bigr] = c\bigl[v_{rr}\,r_t + v_{rs}\,s_t - (v_{sr}\,r_t + v_{ss}\,s_t)\bigr].
Substituindo r_t=c e s_t=-c e lembrando v_{sr}=v_{rs}, obtemos
u_{tt} = c\bigl[c\,v_{rr} + (-c)\,v_{rs} - (c\,v_{rs} + (-c)\,v_{ss})\bigr] = c^2\bigl(v_{rr} -2v_{rs} + v_{ss}\bigr).

Passo 3

Agora calculamos u_x e u_{xx}. De novo pela cadeia:
u_x = v_r\,r_x + v_s\,s_x = v_r + v_s,
pois r_x=1 e s_x=1. Então
u_{xx} = (v_r + v_s)_x = v_{rr}\,r_x + v_{rs}\,s_x + v_{sr}\,r_x + v_{ss}\,s_x = v_{rr} + 2v_{rs} + v_{ss}.
Dessa forma,
u_{tt} - c^2u_{xx} = c^2\bigl(v_{rr} -2v_{rs} + v_{ss}\bigr) - c^2\bigl(v_{rr} +2v_{rs} + v_{ss}\bigr) = -4c^2\,v_{rs}(r,s).
Isto é,
u_{tt}(x,t)-c^2u_{xx}(x,t) = w\bigl(x+ct,\,x-ct\bigr),
com
w(r,s)=-4c^2\,v_{rs}(r,s),
que conclui o item (a).

Passo 4

Para o item (b), suponha que u satisfaz a equação homogênea
u_{tt}=c^2u_{xx}.
Pelo resultado do item (a), isso equivale a exigir
w(r,s)=-4c^2\,v_{rs}(r,s)=0 \quad\Longrightarrow\quad v_{rs}(r,s)=0
em todo (r,s). Uma condição clássica de PDE diz que, se a derivada mista de segunda ordem é zero, então v se separa em soma:
v(r,s)=F(r)+G(s),
onde F e G são funções de variável única. Voltando a u, obtemos
u(x,t)=v(x+ct,x-ct) =F(x+ct)+G(x-ct),
que é exatamente a forma geral procurada.

Resposta

u(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct).

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