Seja f(x, y)=\left\{\begin{array}{lll}\frac{x^{3} y}{x^{4}+y^{2}}, & \text { se } & (x, y) \neq(0,0) ; \\\\ 0, & \text { se } & (x, y)=(0,0) .\end{array}\right.
Mostre que existem as derivadas direcionais de f em todas as direções no ponto (0,0) e que \frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(0,0)=\langle\nabla f(0,0), \vec{u}\rangle para todo vetor unitário \vec{u}. É f diferenciável em ( 0,0 )?
para todo vetor unitário \vec u, além de decidir se f é diferenciável em (0,0). Vamos usar definição de derivada direcional, conceito de gradiente e o critério de diferenciabilidade via comportamento de f(h,k) em relação à norma \sqrt{h^{2}+k^{2}}.
Passo 2
Sejam \vec u=(u_{1},u_{2}) com u_{1}^{2}+u_{2}^{2}=1 e t\in\mathbb{R}. A derivada direcional de f em (0,0) na direção \vec u é