Seja f(x, y)=\left\{\begin{array}{lll}\frac{x^{3} y}{x^{4}+y^{2}}, & \text { se } & (x, y) \neq(0,0) ; \\\\ 0, & \text { se } & (x, y)=(0,0) .\end{array}\right.
Mostre que existem as derivadas direcionais de f em todas as direções no ponto (0,0) e que \frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(0,0)=\langle\nabla f(0,0), \vec{u}\rangle para todo vetor unitário \vec{u}. É f diferenciável em ( 0,0 )?

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{3}y}{x^{4}+y^{2}},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\\\ 0,&\text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede para mostrar que, em (0,0), existem todas as derivadas direcionais e que
\frac{\partial f}{\partial \vec u}(0,0) =\langle\nabla f(0,0),\vec u\rangle
para todo vetor unitário \vec u, além de decidir se f é diferenciável em (0,0). Vamos usar definição de derivada direcional, conceito de gradiente e o critério de diferenciabilidade via comportamento de f(h,k) em relação à norma \sqrt{h^{2}+k^{2}}.

Passo 2

Sejam \vec u=(u_{1},u_{2}) com u_{1}^{2}+u_{2}^{2}=1 e t\in\mathbb{R}. A derivada direcional de f em (0,0) na direção \vec u é
\frac{\partial f}{\partial \vec u}(0,0) =\lim_{t\to0}\frac{f\bigl(tu_{1},\,t u_{2}\bigr)-f(0,0)}{t} =\lim_{t\to0}\frac{f(tu_{1},tu_{2})}{t}.
Para (tu_{1},tu_{2})\neq(0,0) temos
f(tu_{1},tu_{2}) =\frac{(tu_{1})^{3}(tu_{2})}{(tu_{1})^{4}+(tu_{2})^{2}} =\frac{t^{4}u_{1}^{3}u_{2}}{t^{2}\bigl(t^{2}u_{1}^{4}+u_{2}^{2}\bigr)} =\frac{t^{2}u_{1}^{3}u_{2}}{t^{2}u_{1}^{4}+u_{2}^{2}}.
Logo
\frac{f(tu_{1},tu_{2})}{t} =\frac{t\,u_{1}^{3}u_{2}}{t^{2}u_{1}^{4}+u_{2}^{2}} \;\xrightarrow[t\to0]{}\;0.

Passo 3

O limite acima existe e vale 0 para todo \vec u. Portanto todas as derivadas direcionais em (0,0) existem e
\frac{\partial f}{\partial \vec u}(0,0)=0.
Isto mostra que o gradiente é
\nabla f(0,0)=(0,0),
e assim
\langle\nabla f(0,0),\vec u\rangle =\langle(0,0),\vec u\rangle =0
coincide com todas as derivadas direcionais.

Passo 4

Para verificar diferenciabilidade, precisaríamos que
f(h,k)-\langle\nabla f(0,0),(h,k)\rangle =f(h,k)
fosse o\bigl(\sqrt{h^{2}+k^{2}}\bigr) quando (h,k)\to(0,0). Mas ao tomar o caminho k=h^{2} temos, para h\neq0,
f\bigl(h,h^{2}\bigr) =\frac{h^{3}\cdot h^{2}}{h^{4}+h^{4}} =\frac{h^{5}}{2h^{4}} =\frac h2,
enquanto
\sqrt{h^{2}+(h^{2})^{2}} =h\sqrt{1+h^{2}} \sim h.
Logo
\frac{f(h,h^{2})}{\sqrt{h^{2}+(h^{2})^{2}}} \;\xrightarrow[h\to0]{}\;\frac{1}{2}\neq0,
ou seja, f(h,k) não é o\bigl(\|(h,k)\|\bigr). Dessa forma f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

As derivadas direcionais em (0,0) existem para todo vetor unitário \vec u e valem
\frac{\partial f}{\partial \vec u}(0,0)=0 =\langle\nabla f(0,0),\vec u\rangle.
Entretanto, f não é diferenciável em (0,0).

Exercícios relacionados