Dizemos que uma função z=f(x, y) é homogênea se f(t x, t y)=f(x, y), forall t R-0.
Mostre que f e g satisfazem a seguinte equação, que envolve as derivadas parcie x partial zpartial x+y partial zpartial y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre funções homogêneas. Uma função $ z = f(x, y) $ é chamada de homogênea se, ao multiplicarmos as variáveis $ x $ e $ y $ por um mesmo número $ t $ (diferente de zero), a função não muda, ou seja, $ f(tx, ty) = f(x, y) $ para todo $ t \in \mathbb{R} \setminus {0} $. Nosso objetivo é mostrar que para essas funções, a seguinte equação envolvendo derivadas parciais é satisfeita:
z = f(x, y)
Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e a definição de função homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que a função é homogênea. Pela definição, $ f(tx, ty) = f(x, y) $. Isso quer dizer que, se aumentarmos $ x $ e $ y $ pelo mesmo fator $ t $, o valor da função $ f $ não muda.

Passo 3

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação $ f(tx, ty) = f(x, y) $ em relação a $ t $. Para isso, usamos a regra da cadeia. Derivando em relação a $ t $:
f(tx, ty) = f(x, y)

Passo 4

No lado direito, a derivada de $ f(x, y) $ em relação a $ t $ é zero, já que $ x $ e $ y $ não dependem de $ t $:
f(x, y)

Passo 5

No lado esquerdo, aplicamos a regra da cadeia:
ddtf(tx, ty) = partial fpartial x cdot d(tx)dt + partial fpartial y cdot d(ty)dt = x partial fpartial x + y partial fpartial y

Passo 6

Igualando os dois lados da equação derivada:
x partial fpartial x + y partial fpartial y = 0

Resposta

Portanto, mostramos que para uma função homogênea $ f(x, y) $, vale a relação $ x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = 0 $.

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