Dizemos que uma função
é homogênea se
.
Mostre que
e
satisfazem a seguinte equação, que envolve as derivadas parcie
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre funções homogêneas. Uma função $ z = f(x, y) $ é chamada de homogênea se, ao multiplicarmos as variáveis $ x $ e $ y $ por um mesmo número $ t $ (diferente de zero), a função não muda, ou seja, $ f(tx, ty) = f(x, y) $ para todo $ t \in \mathbb{R} \setminus {0} $. Nosso objetivo é mostrar que para essas funções, a seguinte equação envolvendo derivadas parciais é satisfeita:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e a definição de função homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que a função é homogênea. Pela definição, $ f(tx, ty) = f(x, y) $. Isso quer dizer que, se aumentarmos $ x $ e $ y $ pelo mesmo fator $ t $, o valor da função $ f $ não muda.
Passo 3
Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação $ f(tx, ty) = f(x, y) $ em relação a $ t $. Para isso, usamos a regra da cadeia. Derivando em relação a $ t $:
Passo 4
No lado direito, a derivada de $ f(x, y) $ em relação a $ t $ é zero, já que $ x $ e $ y $ não dependem de $ t $:
Passo 5
No lado esquerdo, aplicamos a regra da cadeia:
Passo 6
Igualando os dois lados da equação derivada:
Resposta
Portanto, mostramos que para uma função homogênea $ f(x, y) $, vale a relação $ x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = 0 $.