(4,0) Seja
f(x, y)=lll x^4x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
(b) Determine, se posível, as derivadas parciais de f em R^2 ?

Passo 1

O enunciado define uma função por partes em $x,y)\in\mathbb{R}^2$, que é \frac{x4}{x2+y^2}\ fora da origem e zero na origem, e pede para achar as derivadas parciais em todo \mathbb{R}^2\). Vamos precisar da definição de derivada parcial (limite incremental) e da regra do quociente para funções de duas variáveis.

Passo 2

Para $x,y)\neq(0,0)$ usamos a regra do quociente. Definindo \displaystyle u(x,y)=x^4\) e \displaystyle v(x,y)=x2+y2\), temos
x,y)neq(0,0)

Passo 3

Para $x,y)\neq(0,0)$, a derivada parcial em \!y\! é
x,y)neq(0,0)

Passo 4

Na origem, usamos a definição de derivada parcial como limite incremental. Para \partial f/\partial x(0,0)\ temos
limhto0f(h,0)-f(0,0)h=limhto0h^4/(h^2+0)-0h=limhto0h^2h=0

Passo 5

Analogamente, para \partial f/\partial y(0,0)\)
limkto0f(0,k)-0k=limkto00k=0

Resposta

As derivadas parciais de f são:
\displaystyle
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=
dfrac2x^3l(x^2+2y^2r)(x^2+y^2)^2,& (x,y)neq(0,0), 0,& (x,y)=(0,0),
\displaystyle
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=
-dfrac2yx^4(x^2+y^2)^2,& (x,y)neq(0,0), 0,& (x,y)=(0,0)

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