Seja f(x, y)=lllx^3+y^3x^2+y^2, & se & (x, y) neq(0,0), 0 & se & (x, y)=(0,0)
(a) Calcule o gradiente de f no ponto (0,0).
(b) Mostre que dd t f(gamma(t)) neq nabla f(gamma(t)) cdot gamma^prime(t) em t=0, onde gamma(t)=(-t,-t).
(c) É f diferenciável em (0,0) ? Justifique.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= dfracx^3+y^3x^2+y^2,& (x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0),
e pede: (a) nabla f(0,0), (b) comparar ddtf(gamma(t)) com nabla f(0,0)cdotgamma'(0) para gamma(t)=(-t,-t), (c) verificar se f é diferenciável em (0,0). Vamos usar definição de derivada parcial, derivada de composição e teste de diferenciabilidade via resto de Taylor.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais em (0,0) pela definição.
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0h^3+0h^2+0-0h =limhto0hh=1
De modo análogo,
partial fpartial y(0,0) =limhto0f(0,h)-0h =limhto00+h^30+h^2h =limhto0hh=1
Logo
nabla f(0,0) = (1,1)

Passo 3

Calcular ddtf(gamma(t)) em t=0 com gamma(t)=(-t,-t). Para tneq0,
f(gamma(t)) =f(-t,-t) =(-t)^3+(-t)^3(-t)^2+(-t)^2 =-2t^32t^2=-t
Então
ddtf(gamma(t)) =ddt(-t)=-1,
e em particular ddtf(gamma(t))|t=0=-1.

Passo 4

Calcular nabla f(0,0)cdotgamma'(0). Temos gamma'(t)=(-1,-1) para todo t, então
nabla f(0,0)cdotgamma'(0) =(1,1)cdot(-1,-1)=-1-1=-2

Passo 5

Comparando resultados em t=0:
ddtf(gamma(t))|t=0=-1 neq nabla f(0,0)cdotgamma'(0)=-2
Portanto a igualdade da regra da cadeia vetorial falha em t=0.

Passo 6

Testar a diferenciabilidade em (0,0). Se f fosse diferenciável, deveríamos ter
f(x,y) =f(0,0)+nabla f(0,0)cdot(x,y)+ol(raizx^2+y^2r),
isto é, o resto
R(x,y) =f(x,y)-(x+y)
deveria satisfazer R(x,y)/raizx^2+y^2to0 quando (x,y)to(0,0). Para (x,y)neq(0,0),
R(x,y) =x^3+y^3x^2+y^2-x-y =-xy(x+y)x^2+y^2

Passo 7

Verificar o limite de R(x,y)/raizx^2+y^2 ao longo da reta y=x. Então R(x,x)=-x e raizx^2+x^2=raiz2,|x|, de modo que
R(x,x)raizx^2+x^2 =-xraiz2,|x| =-1raiz2,
que não tende a 0 quando xto0. Logo o resto não é o(raizx^2+y^2) e f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

(a) nabla f(0,0)=(1,1).
(b) ddtf(gamma(t))|t=0=-1neq-2=nabla f(0,0)cdotgamma'(0).
(c) f não é diferenciável em (0,0).

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