Seja f(x, y)=lllx y^2x^2+y^4+sen(x+3 y) & se & (x, y) neq(0,0), 0 & se & (x, y)=(0,0)
(a) Mostre que as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y existem em todos os pontos.
(b) $f é contínua em(0,0) (c) f é diferenciável em(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracx,y^2x^2+y^4+sin(x+3y),&se (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&se (x,y)=(0,0)
Precisamos verificar três coisas: existência das derivadas parciais em todo ponto, continuidade em (0,0) e diferenciabilidade em (0,0). Para isso usamos teoria de funções de várias variáveis: classe C^1 em domínios onde o denominador não zera; definição de derivada parcial por limite; definição de continuidade por limite e valor; e o fato de que diferenciabilidade implica continuidade.]

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) a parte
(x,y)mapsto x,y^2x^2+y^4
é quociente de funções polinomiais cujo denominador x^2+y^4 nunca é zero fora da origem, logo é C^infty aí. A função (x,y)mapsto sin(x+3y) é também C^infty em todo R^2. Sendo soma de C^infty, f tem derivadas parciais bem definidas em todo ponto (x,y)neq(0,0).

Passo 3

No ponto (0,0) usamos a definição
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0sin(h)h=1,
pois f(h,0)=sin(h). Similarmente,
partial fpartial y(0,0) =limkto0f(0,k)-f(0,0)k =limkto0sin(3k)k =3,
pois f(0,k)=sin(3k). Logo as derivadas parciais existem em (0,0) e valem 1 e 3.

Passo 4

Para ver continuidade em (0,0) consideramos a trajetória x=y^2. Então para yneq0
f(y^2,y) =y^2cdot y^2(y^2)^2+y^4+sin(y^2+3y) =y^42y^4+sin(y^2+3y) =tfrac12+sin(y^2+3y)
À medida que yto0 temos sin(y^2+3y)to0, então
lim(x,y)to(0,0)atop x=y^2f(x,y) =tfrac12neq0=f(0,0)
Isso mostra que o limite não coincide com f(0,0), ou seja, f não é contínua em (0,0).

Passo 5

Como diferenciabilidade em um ponto implica continuidade nesse ponto, e acabamos de ver que f não é contínua em (0,0), concluímos que f também não pode ser diferenciável em (0,0).

Resposta

(a) As derivadas parciais existem em todo R^2, com
partialx f(0,0)=1 e partialy f(0,0)=3.
(b) f não é contínua em (0,0).
(c) f não é diferenciável em (0,0).

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