Seja
(a) Mostre que as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y existem em todos os pontos.
(b) $f é contínua em(0,0) (c) f é diferenciável em(0,0)
Precisamos verificar três coisas: existência das derivadas parciais em todo ponto, continuidade em (0,0) e diferenciabilidade em (0,0). Para isso usamos teoria de funções de várias variáveis: classe C^1 em domínios onde o denominador não zera; definição de derivada parcial por limite; definição de continuidade por limite e valor; e o fato de que diferenciabilidade implica continuidade.]
Passo 2
Para (x,y)neq(0,0) a parte
(x,y)mapsto x,y^2x^2+y^4
é quociente de funções polinomiais cujo denominador x^2+y^4 nunca é zero fora da origem, logo é C^infty aí. A função (x,y)mapsto sin(x+3y) é também C^infty em todo R^2. Sendo soma de C^infty, f tem derivadas parciais bem definidas em todo ponto (x,y)neq(0,0).
Isso mostra que o limite não coincide com f(0,0), ou seja, f não é contínua em (0,0).
Passo 5
Como diferenciabilidade em um ponto implica continuidade nesse ponto, e acabamos de ver que f não é contínua em (0,0), concluímos que f também não pode ser diferenciável em (0,0).
Resposta
(a) As derivadas parciais existem em todo R^2, com partialx f(0,0)=1 e partialy f(0,0)=3.
(b) f não é contínua em (0,0).
(c) f não é diferenciável em (0,0).