Q. 2(1,5). Escreva a definição de derivada para uma função f num ponto x=p. Com esta definição determine a derivada da função f(x)=raizx+2-raiz3, no ponto p=0.
Primeiro, cadê o livro? Segundo,
f^prime(0) & =lim De<a x 0 raiz0+De<a x+2-raiz3-(raiz0+2-raiz3)De<a x=lim De<a x 0 raizDe<a x+2-raiz2De<a x & =lim De<a x 0 (raizDe<a x+2-raiz2)(raizDe<a x+2+raiz2)De<a x(raizDe<a x+2+raiz2)=lim De<a x 0 1raizDe<a x+2+raiz2=12 raiz2=raiz24

Passo 1

O enunciado pede que a gente escreva a definição de derivada de uma função f num ponto x=p e, usando essa definição, calcule a derivada de
f(x)=raizx+2-raiz3
no ponto p=0. O conteúdo é a definição de derivada via limite do quociente incremental e o uso de conjugado para resolver limites.

Passo 2

A definição de derivada de f num ponto x=p é
f'(p)=limDe<a xto0f(p+De<a x)-f(p)De<a x

Passo 3

Aqui p=0 e f(0)=raiz2-raiz3. Substituindo na definição,
f'(0)=limDe<a xto0l(raiz0+De<a x+2-raiz3r)-l(raiz2-raiz3r)De<a x =limDe<a xto0raizDe<a x+2-raiz2De<a x

Passo 4

Para calcular esse limite, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado raizDe<a x+2+raiz2. Assim,
raizDe<a x+2-raiz2De<a x = (raizDe<a x+2-raiz2)(raizDe<a x+2+raiz2)De<a x,(raizDe<a x+2+raiz2)
No numerador aparece
(raizDe<a x+2-raiz2)(raizDe<a x+2+raiz2) = (De<a x+2)-2 = De<a x,
logo
raizDe<a x+2-raiz2De<a x = De<a xDe<a x,(raizDe<a x+2+raiz2)

Passo 5

Cancelando De<a x e aplicando o limite, obtemos
f'(0)=limDe<a xto01raizDe<a x+2+raiz2 =12raiz2 =raiz24

Resposta

f'(0)=raiz24.

Exercícios relacionados