Vamos estudar o limite da função . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites em funções de duas variáveis e verificar como a função se comporta quando (x, y) se aproxima de (0,0).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular esse limite. Estamos observando o que acontece com a expressão quando os valores de x e y ficam muito próximos de zero. Podemos tentar diferentes caminhos para chegar a esse ponto e ver se o limite é o mesmo em todos eles.
Passo 3
Vamos começar com um caminho simples: onde y é sempre igual a 0. Ou seja, estamos nos movendo ao longo do eixo x até chegar a (0,0).
Substituindo y por 0:
Então, ao longo desse caminho, o limite é 0.
Passo 4
Agora, vamos testar outro caminho: onde x é sempre igual a 0. Ou seja, estamos nos movendo ao longo do eixo y até chegar a (0,0).
Substituindo x por 0:
Portanto, ao longo desse caminho, o limite também é 0.
Passo 5
Vamos tentar um caminho mais geral: y = kx², onde k é uma constante. Isso nos ajuda a ver como a função se comporta quando y depende de x de uma maneira específica.
Substituindo y por kx²:
Quando x tende a 0, também tende a 0. Então, mesmo nesse caminho, o limite é 0.
Passo 6
Como em todos os caminhos que testamos o limite foi 0, podemos supor que o limite geral também é 0. Mas vamos confirmar isso usando uma desigualdade para garantir que o resultado seja válido independente do caminho escolhido.
Passo 7
Observe que:
Como x^2 0 quando (x, y) se aproxima de (0,0), pelo Teorema do Squeeze (ou Teorema da Abundância), podemos concluir que o limite da função também é 0.