Estude lim (x, y) (0,0) x^2 yraizx^4+y^2.

Passo 1

Vamos estudar o limite da função lim (x, y) (0,0) x^2 yraizx^4+y^2. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites em funções de duas variáveis e verificar como a função se comporta quando (x, y) se aproxima de (0,0).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular esse limite. Estamos observando o que acontece com a expressão x^2 yraizx^4+y^2 quando os valores de x e y ficam muito próximos de zero. Podemos tentar diferentes caminhos para chegar a esse ponto e ver se o limite é o mesmo em todos eles.

Passo 3

Vamos começar com um caminho simples: onde y é sempre igual a 0. Ou seja, estamos nos movendo ao longo do eixo x até chegar a (0,0).
Substituindo y por 0:
x^2 cdot 0raizx^4+0^2 = 0raizx^4 = 0
Então, ao longo desse caminho, o limite é 0.

Passo 4

Agora, vamos testar outro caminho: onde x é sempre igual a 0. Ou seja, estamos nos movendo ao longo do eixo y até chegar a (0,0).
Substituindo x por 0:
0^2 cdot yraiz0^4+y^2 = 0raizy^2 = 0
Portanto, ao longo desse caminho, o limite também é 0.

Passo 5

Vamos tentar um caminho mais geral: y = kx², onde k é uma constante. Isso nos ajuda a ver como a função se comporta quando y depende de x de uma maneira específica.
Substituindo y por kx²:
x^2 cdot kx^2raizx^4 + (kx^2)^2 = kx^4raizx^4 + k^2x^4 = kx^4x^2raiz1 + k^2 = kx^2raiz1 + k^2
Quando x tende a 0, kx^2raiz1 + k^2 também tende a 0. Então, mesmo nesse caminho, o limite é 0.

Passo 6

Como em todos os caminhos que testamos o limite foi 0, podemos supor que o limite geral também é 0. Mas vamos confirmar isso usando uma desigualdade para garantir que o resultado seja válido independente do caminho escolhido.

Passo 7

Observe que:
|x^2 yraizx^4+y^2| <= |x^2| cdot |y||y| = |x^2| = x^2
Como x^2 0 quando (x, y) se aproxima de (0,0), pelo Teorema do Squeeze (ou Teorema da Abundância), podemos concluir que o limite da função também é 0.

Resposta

O limite é igual a 0.

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