Seja
Descreva e esboce as curvas de nível de
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Descreva e esboce as curvas de nível de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para descrever e esboçar as curvas de nível da função $ f(x, y) = \sqrt{25 - 9y^{2} - x^{2}} $ para os valores $ k = 0 $, $ k = 3 $, $ k = 4 $ e $ k = 5 $. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre curvas de nível, que são curvas onde a função assume um valor constante $ k $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Para encontrar as curvas de nível, igualamos a função a $ k $. Então, temos:
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Agora, reorganizamos a equação:
Essa é a equação de uma elipse, desde que o lado direito seja positivo.
Passo 3
Vamos analisar para cada valor de $ k $:
-
Para $ k = 0 $:
Essa é uma elipse com semi-eixos $ a = \sqrt{25} = 5 $ e $ b = \sqrt{25/9} \approx 1.\overline{6} $. -
Para $ k = 3 $:
Outra elipse, agora com semi-eixos $ a = \sqrt{16} = 4 $ e $ b = \sqrt{16/9} \approx 1.33 $. -
Para $ k = 4 $:
Mais uma elipse, com semi-eixos $ a = \sqrt{9} = 3 $ e $ b = \sqrt{9/9} = 1 $. -
Para $ k = 5 $:
A única solução aqui é $ x = 0 $ e $ y = 0 $, então a curva de nível é apenas o ponto.
Passo 4
Agora, vamos esboçar as curvas:
- $ k = 0 $: Elipse maior com semi-eixos 5 e aproximadamente 1.66.
- $ k = 3 $: Elipse menor com semi-eixos 4 e 1.33.
- $ k = 4 $: Elipse ainda menor com semi-eixos 3 e 1.
- $ k = 5 $: Apenas o ponto
.
As elipses estão centradas na origem e suas formas ficam mais fechadas conforme $ k $ aumenta, até chegar ao ponto único quando $ k = 5 $.
Resposta
As curvas de nível de $ f(x, y) = \sqrt{25 - 9y^{2} - x^{2}} $ são elipses centradas na origem para $ k = 0, 3, 4 $ com semi-eixos decrescentes à medida que $ k $ aumenta, e um ponto único
para $ k = 5 $. Os esboços das curvas mostram elipses menores conforme $ k $ cresce, culminando no ponto central quando $ k = 5 $.