Resolva as equaçōes diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Temos:
Podemos reescrever isso como:
Aqui, percebemos que a equação é não linear devido ao termo $ y^{2} $.
Passo 3
Para simplificar, vamos fazer uma substituição. Vamos definir:
Então, $ y = u \cdot x $. Agora, precisamos encontrar $ \frac{dy}{dx} $ em termos de $ u $ e $ \frac{du}{dx} $.
Derivando $ y = u \cdot x $ em relação a $ x $:
Passo 4
Substituindo $ y = u \cdot x $ e $ \frac{dy}{dx} = u + x \frac{du}{dx} $ na equação original, temos:
Simplificando os termos:
Passo 5
Vamos reorganizar a equação para isolar $ \frac{du}{dx} $:
Agora, temos uma equação que podemos separar as variáveis.
Passo 6
Vamos separar as variáveis $ u $ e $ x $:
Para integrar, precisamos simplificar o lado esquerdo. Primeiro, vamos fatorar o denominador.
Passo 7
O denominador $ 3 - 2u - u^{2} $ pode ser reescrito como:
Então, a equação fica:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Passo 8
Agora, vamos usar frações parciais para integrar o lado esquerdo. Queremos expressar:
Multiplicando ambos os lados por $ (u + 3)(u - 1) $:
Vamos encontrar os valores de $ A $ e $ B $.
Passo 9
Para encontrar $ A $ e $ B $, escolhemos valores de $ u $ que simplificam a equação:
- Se $ u = 1 $:
- Se $ u = -3 $:
Então, temos:
Passo 10
Agora, substituímos de volta na equação de integração:
Integrando ambos os lados:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 11
Vamos simplificar a expressão:
Multiplicando ambos os lados por 4:
Onde $ C’ = 4C $.
Rearranjando os termos:
Passo 12
Aplicando a exponenciação para eliminar o logaritmo:
Onde $ C = e^{C’} $ é uma nova constante.
Passo 13
Lembrando que $ u = \frac{y}{x} $, substituímos de volta:
Multiplicando numerador e denominador por $ x $:
Passo 14
Vamos resolver para $ y $:
Multiplicando ambos os lados por $ y + 3x $:
Distribuindo:
Isolando termos com $ y $:
Fatorando $ y $:
Finalmente, isolando $ y $:
Passo 15
Aplicando a condição inicial $ y_{0} = x $, assumindo que no ponto inicial $ x = x_0 $ e $ y = y_0 $:
Substituindo na equação geral:
Multiplicando ambos os lados por $ 1 - C \cdot x_0^{-4} $:
Distribuindo:
Subtraindo $ x_0 $ de ambos os lados:
Somando $ C \cdot x_0^{-3} $ aos dois lados:
Isso implica que $ C = 0 $.
Passo 16
Com $ C = 0 $, substituímos de volta na equação geral:
Resposta
A solução da equação diferencial é: