Resolva as equaçōes diferenciais abaixo:
d yd x=-y^2x^2-yx+3, com y0=x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial:
dydx = -y^2x^2 - yx + 3, com y0 = x
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Temos:
dydx = -y^2x^2 - yx + 3
Podemos reescrever isso como:
dydx + yx + y^2x^2 = 3
Aqui, percebemos que a equação é não linear devido ao termo $ y^{2} $.

Passo 3

Para simplificar, vamos fazer uma substituição. Vamos definir:
u = yx
Então, $ y = u \cdot x $. Agora, precisamos encontrar $ \frac{dy}{dx} $ em termos de $ u $ e $ \frac{du}{dx} $.
Derivando $ y = u \cdot x $ em relação a $ x $:
y = u cdot x

Passo 4

Substituindo $ y = u \cdot x $ e $ \frac{dy}{dx} = u + x \frac{du}{dx} $ na equação original, temos:
y = u cdot x
Simplificando os termos:
dydx = u + x dudx
u + x dudx + u cdot xx + (u cdot x)^2x^2 = 3

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para isolar $ \frac{du}{dx} $:
dudx
x dudx = 3 - 2u - u^2
Agora, temos uma equação que podemos separar as variáveis.

Passo 6

Vamos separar as variáveis $ u $ e $ x $:
u
Para integrar, precisamos simplificar o lado esquerdo. Primeiro, vamos fatorar o denominador.

Passo 7

O denominador $ 3 - 2u - u^{2} $ pode ser reescrito como:
3 - 2u - u^2
Então, a equação fica:
- (u^2 + 2u - 3) = - (u + 3)(u - 1)
Multiplicando ambos os lados por -1:
du- (u + 3)(u - 1) = dxx

Passo 8

Agora, vamos usar frações parciais para integrar o lado esquerdo. Queremos expressar:
1(u + 3)(u - 1) = Au + 3 + Bu - 1
Multiplicando ambos os lados por $ (u + 3)(u - 1) $:
(u + 3)(u - 1)
Vamos encontrar os valores de $ A $ e $ B $.

Passo 9

Para encontrar $ A $ e $ B $, escolhemos valores de $ u $ que simplificam a equação:
  1. Se $ u = 1 $:
A
  1. Se $ u = -3 $:
B
Então, temos:
u

Passo 10

Agora, substituímos de volta na equação de integração:
integral ( -14(u + 3) + 14(u - 1) ) du = integral -1x dx
Integrando ambos os lados:
-14 ln|u + 3| + 14 ln|u - 1| = -ln|x| + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 11

Vamos simplificar a expressão:
Multiplicando ambos os lados por 4:
- ln|u + 3| + ln|u - 1| = -4 ln|x| + C'
Onde $ C’ = 4C $.
Rearranjando os termos:
C' = 4C

Passo 12

Aplicando a exponenciação para eliminar o logaritmo:
u - 1u + 3 = C cdot x^-4
Onde $ C = e^{C’} $ é uma nova constante.

Passo 13

Lembrando que $ u = \frac{y}{x} $, substituímos de volta:
u = yx
Multiplicando numerador e denominador por $ x $:
yx - 1yx + 3 = C cdot x^-4

Passo 14

Vamos resolver para $ y $:
Multiplicando ambos os lados por $ y + 3x $:
y
Distribuindo:
y + 3x
Isolando termos com $ y $:
y - x = C cdot x^-4 (y + 3x)
Fatorando $ y $:
y - x = C cdot x^-4 y + 3C cdot x^-3
Finalmente, isolando $ y $:
y

Passo 15

Aplicando a condição inicial $ y_{0} = x $, assumindo que no ponto inicial $ x = x_0 $ e $ y = y_0 $:
Substituindo na equação geral:
y0 = x
Multiplicando ambos os lados por $ 1 - C \cdot x_0^{-4} $:
x = x0
Distribuindo:
y = y0
Subtraindo $ x_0 $ de ambos os lados:
x0 = x0 + 3C cdot x0^-31 - C cdot x0^-4
Somando $ C \cdot x_0^{-3} $ aos dois lados:
1 - C cdot x0^-4
Isso implica que $ C = 0 $.

Passo 16

Com $ C = 0 $, substituímos de volta na equação geral:
C = 0

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y = x

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