Seja a função f: R^2 R definida por
A função f(x, y)=ll 2 y^32 x^2+y^2 & , se (x, y) neq(0,0) 0 & , se (x, y)=(0,0) é continua em f(x, y)? Justifique.

Passo 1

O enunciado diz que temos a função f:R^2toR dada por
f(x,y)= dfrac2y^32x^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0), 0,&se (x,y)=(0,0)
Queremos saber se f é contínua em (0,0). O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e a definição de continuidade: f é contínua em (0,0) se
$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0)=0.
$$

Passo 2

Para calcular o limite, vamos estimar o valor absoluto de f(x,y) quando (x,y)neq(0,0):
|f(x,y)|=|2y^32x^2+y^2|=2,|y|^32x^2+y^2
Como 2x^2+y^2>= y^2, temos
|y|^32x^2+y^2<=|y|^3y^2=|y|,
o que leva a
|f(x,y)|<= 2|y|

Passo 3

Já que 2|y|to0 quando (x,y)to(0,0), pelo Teorema do Confronto segue que
lim(x,y)to(0,0)|f(x,y)|=0
e, portanto,
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0)
Isso mostra que f é contínua em (0,0).

Resposta

A função é contínua em (0,0) porque lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0).

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