Seja a função
definida por
A função
é continua em
? Justifique.
Passo 1
O enunciado diz que temos a função
dada por
Queremos saber se
f é contínua em
(0,0) . O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e a definição de continuidade:
f é contínua em
(0,0) se
$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0)=0.
$$
Passo 2
Para calcular o limite, vamos estimar o valor absoluto de
f(x,y) quando
(x,y)neq(0,0) :
Como
2x^2+y^2>= y^2 , temos
o que leva a
Passo 3
Já que
2|y|to0 quando
(x,y)to(0,0) , pelo Teorema do Confronto segue que
e, portanto,
Isso mostra que
f é contínua em
(0,0) .
Resposta
A função é contínua em (0,0) porque
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0) .