Identifique e esboce a quádrica dada pela equação
. Determine os elementos principais (vértices, focos, etc.) da quádrica
Passo 1
O enunciado dá a superfície de segunda ordem
e pede que a gente identifique do que se trata (classificação), coloque em forma‐padrão e determine os elementos principais como centro, eixos, vértices e focos das seções hiperbólicas.
Passo 2
Para colocar em forma‐padrão, dividimos ambos os lados por
:
Passo 3
Como na forma
temos dois sinais positivos e um negativo, trata‐se de um hiperbolóide de uma folha cuja direção de simetria é ao longo do eixo
.
Passo 4
O centro da superfície é o ponto onde todos os termos lineares desapareceriam, aqui é claramente
Os semi-eixos principais são
ao longo de
,
ao longo de
e o parâmetro
associado a
.
Passo 5
Para achar os vértices, fazemos interseção com os eixos coordenados:
– Em vem
, logo vértices em
.
– Em vem
, logo vértices em
.
Não há interseção real com o eixo .
– Em
– Em
Não há interseção real com o eixo
Passo 6
As seções em planos que contêm o eixo
são hipérboles. Por exemplo, para
obtemos
que é hipérbole com
,
e excentricidade
Os focos dessa hipérbole estão em
.
De modo análogo, na seção vem
De modo análogo, na seção
hipérbole com
,
,
e focos em
.
Passo 7
As retas assíntotas formam o cone dado por
sobre o qual a superfície “se abre” conforme
cresce.
Resposta
A superfície é um hiperbolóide de uma folha centrado em
, com semi-eixos
(eixo
),
(eixo
) e parâmetro
(eixo
). Vértices em
Seções em
são hipérboles de parâmetros
com focos em
.
Seções em são hipérboles de parâmetros
com focos em
.
O cone assíntoto é
Seções em
O cone assíntoto é