Identifique e esboce a quádrica dada pela equação x^2+4 y^2-z^2=4. Determine os elementos principais (vértices, focos, etc.) da quádrica

Passo 1

O enunciado dá a superfície de segunda ordem
x^2+4y^2-z^2=4
e pede que a gente identifique do que se trata (classificação), coloque em forma‐padrão e determine os elementos principais como centro, eixos, vértices e focos das seções hiperbólicas.

Passo 2

Para colocar em forma‐padrão, dividimos ambos os lados por 4:
x^24 ;+;4y^24;-;z^24=1 Longrightarrow x^22^2+y^21^2-z^22^2=1

Passo 3

Como na forma dfracx^2a^2+dfracy^2b^2-dfracz^2c^2=1 temos dois sinais positivos e um negativo, trata‐se de um hiperbolóide de uma folha cuja direção de simetria é ao longo do eixo z.

Passo 4

O centro da superfície é o ponto onde todos os termos lineares desapareceriam, aqui é claramente
O=(0,0,0)
Os semi-eixos principais são a=2 ao longo de x, b=1 ao longo de y e o parâmetro c=2 associado a z.

Passo 5

Para achar os vértices, fazemos interseção com os eixos coordenados:
– Em y=z=0 vem x^2=4, logo vértices em (pm2,0,0).
– Em x=z=0 vem 4y^2=4, logo vértices em (0,pm1,0).
Não há interseção real com o eixo z.

Passo 6

As seções em planos que contêm o eixo z são hipérboles. Por exemplo, para y=0 obtemos
x^24-z^24=1,
que é hipérbole com a=2, b=2 e excentricidade
e=raiz1+b^2a^2=raiz1+1=raiz2
Os focos dessa hipérbole estão em
(pm a,e,0,0)=(pm2raiz2,0,0).
De modo análogo, na seção x=0 vem
y^21-z^24=1,
hipérbole com a=1, b=2, e=raiz1+4=raiz5 e focos em
(0,pm e,0)=(0,pmraiz5,0).

Passo 7

As retas assíntotas formam o cone dado por
x^24+y^21-z^24=0,
sobre o qual a superfície “se abre” conforme lvert zrvert cresce.

Resposta

A superfície é um hiperbolóide de uma folha centrado em O=(0,0,0), com semi-eixos a=2 (eixo x), b=1 (eixo y) e parâmetro c=2 (eixo z). Vértices em
(pm2,0,0)e(0,pm1,0)
Seções em y=0 são hipérboles de parâmetros (a,b,e)=(2,2,raiz2) com focos em (pm2raiz2,0,0).
Seções em x=0 são hipérboles de parâmetros (a,b,e)=(1,2,raiz5) com focos em (0,pmraiz5,0).
O cone assíntoto é
x^24+y^21-z^24=0

Exercícios relacionados