Seja f(x, y)=e^raiz4-x^2-y^2
Calcule a derivada direcional da função f no ponto (1,1) e na direção do vetor v=(-1,5).

Passo 1

Estamos lidando com a derivada direcional de uma função escalar de duas variáveis, no ponto $(1,1)$ e na direção do vetor $(-1,5)$. O conteúdo principal é calcular o gradiente de (1,1) e depois projetá-lo na direção unitária obtida a partir de $(-1,5)$.

Passo 2

Definimos partial fpartial x=f(x,y)cdotpartial gpartial x, de modo que partial fpartial y=f(x,y)cdotpartial gpartial y. Pelo efeito cadeia, as derivadas parciais são dadas por $\frac{\partial f}{\partial x}=f(x,y)\cdot\frac{\partial g}{\partial x}$ e $\frac{\partial f}{\partial y}=f(x,y)\cdot\frac{\partial g}{\partial y}$. Sabendo que partial gpartial x=12(4-x^2-y^2)^-1/2cdot(-2x)=-xraiz4-x^2-y^2,, temos
partial gpartial y=-yraiz4-x^2-y^2

Passo 3

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partial fpartial x=e^raiz4-x^2-y^2cdotl(-xraiz4-x^2-y^2r),
partial fpartial y=e^raiz4-x^2-y^2cdotl(-yraiz4-x^2-y^2r)

Resposta

-\frac{2e^{\sqrt{2}}}{\sqrt{13}}

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