Use a integral dupla para calcular a área da rregião
limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
A questão pede para calcular a área da região D limitada pelas curvas y=4x−x² e y=x usando integral dupla. O conteúdo aqui é aplicação de integrais duplas para área: lembrando que a área A de D é dada por ∬_D dA. Para usar isso, precisamos expressar D como um intervalo em x e um intervalo em y.
Passo 2
Para descrever D, primeiro encontramos os pontos em que as curvas se intersectam, resolvendo 4x−x²=x:
Isso dá pontos de interseção em x=0 e x=3 (e, consequentemente, y=0 e y=3).
Passo 3
Agora analisamos qual curva fica em cima e qual embaixo entre x=0 e x=3. Para um valor intermediário, digamos x=1, temos 4·1−1²=3>1, logo y=4x−x² é a fronteira superior e y=x é a inferior. Assim, D pode ser descrita por 0≤x≤3 e x≤y≤4x−x².
Passo 4
Montamos a integral dupla para a área:
Passo 5
Agora calculamos a integral: