Use a integral dupla para calcular a área da rregião D limitada pelas curvas y=4 x-x^2 e y=x.

Passo 1

A questão pede para calcular a área da região D limitada pelas curvas y=4x−x² e y=x usando integral dupla. O conteúdo aqui é aplicação de integrais duplas para área: lembrando que a área A de D é dada por ∬_D dA. Para usar isso, precisamos expressar D como um intervalo em x e um intervalo em y.

Passo 2

Para descrever D, primeiro encontramos os pontos em que as curvas se intersectam, resolvendo 4x−x²=x:
4x - x^2 = x
-x^2 + 3x = 0 implies x(3 - x)=0 implies x=0 ou x=3
Isso dá pontos de interseção em x=0 e x=3 (e, consequentemente, y=0 e y=3).

Passo 3

Agora analisamos qual curva fica em cima e qual embaixo entre x=0 e x=3. Para um valor intermediário, digamos x=1, temos 4·1−1²=3>1, logo y=4x−x² é a fronteira superior e y=x é a inferior. Assim, D pode ser descrita por 0≤x≤3 e x≤y≤4x−x².

Passo 4

Montamos a integral dupla para a área:
A = integralx=0^3 integraly=x^4x - x^2 dy,dx

Passo 5

Agora calculamos a integral:
A = integral0^3 l[(y)r]y=x^y=4x-x^2 dx = integral0^3 (4x - x^2 - x),dx = integral0^3 (3x - x^2),dx
A = [3x^22 - x^33]0^3 = (272 - 9) = 92

Resposta

92

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