Seja
f(x, y)=rll e^(1x^2+y^2-1), & se & x^2+y^2<1 0, & se & x^2+y^2 >= 1

Passo 1

Beleza! Então, você me enviou uma função de duas variáveis, , que é definida de forma diferente dependendo dos valores de e . A matéria que vamos usar aqui é análise de funções de várias variáveis, especialmente focando em continuidade. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta em diferentes regiões do plano e verificar se não tem “quebras” ou “saltos” na sua definição.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da função:
f(x, y) = e^(1x^2+y^2-1), & se x^2+y^2 < 1 0, & se x^2+y^2 >= 1
Aqui, a função tem duas definições:
  1. Dentro do círculo de raio 1 ( ):
  2. No círculo e fora dele ( ):

Passo 3

A pergunta implícita aqui é verificar se a função é contínua em todo o plano, especialmente na “linha” onde , que é a fronteira entre as duas definições da função.

Passo 4

Vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se o limite da função, quando você se aproxima desse ponto por qualquer direção, for igual ao valor da função naquele ponto.
Então, precisamos verificar se:
lim(x, y) to (a, b) f(x, y) = f(a, b)
para todos os pontos .

Passo 5

Vamos analisar dois casos:
  1. Dentro do círculo ( ): Aqui, a função está bem definida e suave porque o expoente é sempre negativo (já que ), fazendo com que ú seja sempre uma pequena quantidade positiva.
  2. No círculo e fora dele ( ): A função é constante e igual a 0.

Passo 6

O ponto crítico é na fronteira limx^2+y^2 to 1^- e^(1x^2+y^2-1) . Precisamos verificar se o limite da função conforme nos aproximamos dessa fronteira a partir de dentro do círculo é igual a 0 (que é o valor da função na fronteira).
Vamos calcular o limite:
limx^2+y^2 to 1^- e^-infty = 0
Aqui, conforme se aproxima de 1 pela parte de baixo ( ), o denominador se aproxima de 0 pelo negativo, então tende a . Assim:

Passo 7

Já que o limite da função quando nos aproximamos da fronteira pelo interior é 0, e o valor da função na fronteira é também 0, então a função não apresenta “saltos” ou “quebras” nesse ponto.

Resposta

A função é contínua em todo o plano .

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