Seja
Passo 1
Beleza! Então, você me enviou uma função de duas variáveis,
, que é definida de forma diferente dependendo dos valores de
e
. A matéria que vamos usar aqui é análise de funções de várias variáveis, especialmente focando em continuidade. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta em diferentes regiões do plano
e verificar se não tem “quebras” ou “saltos” na sua definição.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas partes da função:
Aqui, a função tem duas definições:
- Dentro do círculo de raio 1 (
): - No círculo e fora dele (
):
Passo 3
A pergunta implícita aqui é verificar se a função
é contínua em todo o plano, especialmente na “linha” onde
, que é a fronteira entre as duas definições da função.
Passo 4
Vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se o limite da função, quando você se aproxima desse ponto por qualquer direção, for igual ao valor da função naquele ponto.
Então, precisamos verificar se:
para todos os pontos
.
Passo 5
Vamos analisar dois casos:
-
Dentro do círculo (
): Aqui, a função está bem definida e suave porque o expoente é sempre negativo (já que ), fazendo com que seja sempre uma pequena quantidade positiva. -
No círculo e fora dele (
): A função é constante e igual a 0.
Passo 6
O ponto crítico é na fronteira
. Precisamos verificar se o limite da função conforme nos aproximamos dessa fronteira a partir de dentro do círculo é igual a 0 (que é o valor da função na fronteira).
Vamos calcular o limite:
Aqui, conforme
se aproxima de 1 pela parte de baixo (
), o denominador
se aproxima de 0 pelo negativo, então
tende a
. Assim:
Passo 7
Já que o limite da função quando nos aproximamos da fronteira pelo interior é 0, e o valor da função na fronteira é também 0, então a função não apresenta “saltos” ou “quebras” nesse ponto.
Resposta
A função
é contínua em todo o plano
.