Resolva as integrais abaixo: integral x^4+x^3+x^2+1x^2+x-2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos lidando com uma integral de fração polinomial, que pertence ao cálculo integral. Para resolver isso, vamos precisar fazer uma divisão polinomial para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o polinômio do numerador, , pelo denominador, . A divisão polinomial vai nos ajudar a separar a fração em uma parte polinomial e uma fração mais simples.

Passo 3

Ao realizar a divisão, encontramos que:
x^4+x^3+x^2+1 = (x^2 - x + 3)(x^2+x-2) + (-4x + 7)
Então, podemos reescrever a fração original como:
x^4+x^3+x^2+1x^2+x-2 = x^2 - x + 3 + -4x + 7x^2+x-2

Passo 4

Agora, nossa integral fica de uma forma mais simples:
integral ( x^2 - x + 3 + -4x + 7x^2+x-2 ) dx
Vamos separar essa integral em partes:
integral x^2 , dx - integral x , dx + integral 3 , dx + integral -4x + 7x^2+x-2 , dx

Passo 5

Vamos integrar cada termo:
  1. integral -4x + 7x^2+x-2 , dx
  2. x^2+x-2 = (x+2)(x-1)
  3. -4x + 7(x+2)(x-1) = Ax+2 + Bx-1
Agora, para a fração:
integral -4x + 7x^2+x-2 , dx = integral ( -1x+2 + -3x-1 ) dx = -ln|x+2| - 3ln|x-1|
Aqui, podemos usar a integração por frações parciais. Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, reescrevemos a fração:
Resolvendo para e , encontramos e . Assim:

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
x^33 - x^22 + 3x - ln|x+2| - 3ln|x-1| + C
Onde é a constante de integração.

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