Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que as funções não têm limite quando
.
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Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
e queremos mostrar que o limite dessa função não existe quando o ponto
se aproxima da origem
. Isso envolve estudar o comportamento da função ao percorrer diferentes caminhos que chegam até a origem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o limite de uma função em duas variáveis. Dizemos que o limite
existe se, independentemente do caminho que escolhemos para chegar a
, o valor de
se aproxima do mesmo número.
Passo 3
Para mostrar que o limite não existe, vamos escolher dois caminhos diferentes que se aproximam da origem e calcular o limite da função
ao longo de cada caminho. Se obtivermos valores diferentes, isso confirma que o limite geral não existe.
Passo 4
Primeiro caminho: Vamos escolher
. Isso significa que, conforme
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0.
Substituindo
na função:
Como
,
. Então,
Passo 5
Segundo caminho: Agora, vamos escolher
. Assim, quando
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0.
Substituindo
na função:
Como
, tanto
quanto
tendem a 0. Então,
Passo 6
Terceiro caminho: Vamos escolher
. Conforme
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0.
Substituindo
na função:
À medida que
,
tende a 0 mais rapidamente que
. Então,
Passo 7
Quarto caminho: Agora, vamos tentar um caminho diferente onde
não diminui tão rápido em relação a
. Vamos escolher
, onde
é um expoente que vamos determinar.
Substituindo
na função:
Para que o limite seja diferente, precisamos escolher
de forma que um dos termos não tenda a 0. Por exemplo, se escolhermos
:
Então,
Resposta
Como obtivemos limites diferentes ao seguir caminhos distintos (
e
), concluímos que a função
não possui limite quando
.