Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que as funções não têm limite quando (x, y) -> (0, 0).
  • g(x, y) = (x^2 + y) / raiz(y)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função e queremos mostrar que o limite dessa função não existe quando o ponto se aproxima da origem . Isso envolve estudar o comportamento da função ao percorrer diferentes caminhos que chegam até a origem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o limite de uma função em duas variáveis. Dizemos que o limite existe se, independentemente do caminho que escolhemos para chegar a , o valor de se aproxima do mesmo número.

Passo 3

Para mostrar que o limite não existe, vamos escolher dois caminhos diferentes que se aproximam da origem e calcular o limite da função ao longo de cada caminho. Se obtivermos valores diferentes, isso confirma que o limite geral não existe.

Passo 4

Primeiro caminho: Vamos escolher . Isso significa que, conforme se aproxima de 0, também se aproxima de 0.
Substituindo na função:
Como , . Então,

Passo 5

Segundo caminho: Agora, vamos escolher . Assim, quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0.
Substituindo na função:
Como , tanto quanto tendem a 0. Então,

Passo 6

Terceiro caminho: Vamos escolher . Conforme se aproxima de 0, também se aproxima de 0.
Substituindo na função:
À medida que , tende a 0 mais rapidamente que . Então,

Passo 7

Quarto caminho: Agora, vamos tentar um caminho diferente onde não diminui tão rápido em relação a . Vamos escolher , onde é um expoente que vamos determinar.
Substituindo na função:
Para que o limite seja diferente, precisamos escolher de forma que um dos termos não tenda a 0. Por exemplo, se escolhermos :
Então,

Resposta

Como obtivemos limites diferentes ao seguir caminhos distintos ( e ), concluímos que a função não possui limite quando .

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