Seja f(x, y)=A \sin (x)+B x \cdot \cos (C y), calcule:
\frac{d f}{d t};

Passo 1

O enunciado nos dá
f(x,y) = A\sin(x) + B\,x\cos(Cy),
onde x=x(t) e y=y(t) são funções de t. Queremos calcular a derivada total \frac{df}{dt} usando a regra da cadeia:
\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x} = A\cos(x) + B\cos(Cy),
\frac{\partial f}{\partial y} = B\,x\cdot\bigl(-\sin(Cy)\bigr)\cdot C = -B\,C\,x\sin(Cy).

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia:
\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{dy}{dt} = \bigl(A\cos(x) + B\cos(Cy)\bigr)\,\frac{dx}{dt} - B\,C\,x\sin(Cy)\,\frac{dy}{dt}.

Resposta

\frac{df}{dt} = \bigl(A\cos(x) + B\cos(Cy)\bigr)\,\frac{dx}{dt} - B\,C\,x\sin(Cy)\,\frac{dy}{dt}.

Exercícios relacionados