Seja f(x, y)=A B^{2} x y^{2}, calcule:
\frac{d f}{d t};

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
f(x,y)=A\,B^{2}\,x\,y^{2}
e pede a derivada total de f em relação a t.
Aqui vamos usar derivadas parciais e a regra da cadeia, assumindo que x e y dependem de t.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x} = A\,B^{2}\,y^{2},
\frac{\partial f}{\partial y} = A\,B^{2}\,x\cdot 2y =2\,A\,B^{2}\,x\,y.

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis:
\frac{df}{dt} =\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} +\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.
Substituindo as parciais:
\frac{df}{dt} = A\,B^{2}\,y^{2}\,\frac{dx}{dt} +2\,A\,B^{2}\,x\,y\,\frac{dy}{dt}.

Resposta

\frac{df}{dt} = A\,B^{2}\Bigl(y^{2}\,\frac{dx}{dt}+2\,x\,y\,\frac{dy}{dt}\Bigr).

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