Questão 12: Utilize integral dupla para determinar a área da região.
A região contida pela cardióide r=1-sen(theta)

Passo 1

O enunciado quer a área da região delimitada pela cardióide ;r=1-sen(theta). Vamos usar integrais duplas em coordenadas polares, lembrando que em polares o elemento de área é ;dA = r,dr,dtheta e os limites para theta vão de 0 a 2pi.

Passo 2

Escrevemos a área como
A ;=; integral duplaR dA ;=; integraltheta=0^2pi integralr=0^,1-sen(theta) r,dr,dtheta

Passo 3

Fazendo primeiro a integral em r:
integralr=0^,1-sen(theta) r,dr ;=; [tfracr^22]0^,1-sen(theta) ;=; tfrac12l(1-sen(theta)r)^2

Passo 4

Então
A ;=; integral0^2pi tfrac12l(1-sen(theta)r)^2,dtheta ;=; tfrac12integral0^2pil(1-2sen(theta)+sen^2(theta)r),dtheta

Passo 5

Separando em três integrais:
integral0^2pi1,dtheta = 2pi, integral0^2pisen(theta),dtheta = 0, integral0^2pisen^2(theta),dtheta =integral0^2pitfrac1-cos(2theta)2,dtheta =pi
Logo
integral0^2pil(1-2sen(theta)+sen^2(theta)r),dtheta =2pi - 0 + pi =3pi

Passo 6

Voltando ao fator tfrac12, obtemos
A = tfrac12times 3pi = tfrac3pi2

Resposta

A = 3pi2

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