Seja
(a) Mostre que existe as derivadas parciais em
(0,0) .
(b) Mostre que
f é contínua em
(0,0) .
(c) Mostre que
f não é diferenciável em
(0,0) .
(b) Mostre que
(c) Mostre que
Passo 1
O enunciado define a função
e pede:
– (a) as derivadas parciais em(0,0) ,
– (b) continuidade em(0,0) ,
– (c) mostrar que não é diferenciável em(0,0) .
Vamos usar a definição de derivada parcial, o critério de continuidade pelo limite e o teste de diferenciabilidade via aproximação linear.]
– (a) as derivadas parciais em
– (b) continuidade em
– (c) mostrar que não é diferenciável em
Vamos usar a definição de derivada parcial, o critério de continuidade pelo limite e o teste de diferenciabilidade via aproximação linear.]
Passo 2
Para
partial fpartial x(0,0) aplicamos a definição
Para
partial fpartial y(0,0)
Logo, as derivadas parciais em
(0,0) existem e valem
partial fpartial x(0,0)=1 e
partial fpartial y(0,0)=0 .
Passo 3
Para a continuidade, estimamos
Como
raizx^2+y^2to0 quando
(x,y)to(0,0) , segue que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0) . Portanto
f é contínua em
(0,0) .
Passo 4
Se
f fosse diferenciável em
(0,0) , teríamos a aproximação
Mas ao tomar
y=x obtemos
então
Isso contradiz o
o(r) . Logo
f não é diferenciável em
(0,0) .
Resposta
(a)
partial fpartial x(0,0)=1 e
partial fpartial y(0,0)=0 .
(b)f é contínua em
(0,0) .
(c)f não é diferenciável em
(0,0) .
(b)
(c)