Seja f(x, y)= x^3x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
(a) Mostre que existe as derivadas parciais em (0,0).
(b) Mostre que f é contínua em (0,0).
(c) Mostre que f não é diferenciável em (0,0).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracx^3x^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&se (x,y)=(0,0),
e pede:
– (a) as derivadas parciais em (0,0),
– (b) continuidade em (0,0),
– (c) mostrar que não é diferenciável em (0,0).
Vamos usar a definição de derivada parcial, o critério de continuidade pelo limite e o teste de diferenciabilidade via aproximação linear.]

Passo 2

Para partial fpartial x(0,0) aplicamos a definição
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0h^3h^2+0-0h =limhto0h1 =1
Para partial fpartial y(0,0)
partial fpartial y(0,0) =limkto0f(0,k)-0k =limkto00k=0
Logo, as derivadas parciais em (0,0) existem e valem
partial fpartial x(0,0)=1 e partial fpartial y(0,0)=0.

Passo 3

Para a continuidade, estimamos
l|f(x,y)r| =|x|^3x^2+y^2 <=l(raizx^2+y^2r)^3x^2+y^2 =raizx^2+y^2
Como raizx^2+y^2to0 quando (x,y)to(0,0), segue que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0). Portanto f é contínua em (0,0).

Passo 4

Se f fosse diferenciável em (0,0), teríamos a aproximação
f(x,y)=f(0,0)+1cdot x+0cdot y+ol(raizx^2+y^2r) Longrightarrow f(x,y)-x=ol(rr),;r=raizx^2+y^2
Mas ao tomar y=x obtemos
f(x,x)=x^32x^2=x2,
então
f(x,x)-xraizx^2+x^2 =x2-x|x|raiz2 =-12raiz2,sgn(x)notto0
Isso contradiz o o(r). Logo f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

(a) partial fpartial x(0,0)=1 e partial fpartial y(0,0)=0.
(b) f é contínua em (0,0).
(c) f não é diferenciável em (0,0).

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