Seja f(x, y)=x^4+2 y^4+2.
Mostre que (0,0) é o único ponto crítico de f.

Passo 1

Temos a função f(x,y)=x⁴+2y⁴+2 e queremos encontrar seus pontos críticos, que são os pontos onde o gradiente de f é o vetor nulo. Vamos usar derivadas parciais para isso.

Passo 2

Definimos o gradiente de f como ∇f(x,y)=(∂f/∂x,∂f/∂y). Primeiro calculamos ∂f/∂x aplicando a regra da potência em x⁴:
Calculamos ∂f/∂x e ∂f/∂y separadamente:
partial fpartial x=4x^3, partial fpartial y=8y^3

Passo 3

Igualamos cada componente do gradiente a zero para achar os pontos críticos: 4x³=0 implica x=0; 8y³=0 implica y=0.

Passo 4

Concluímos que a única solução do sistema ∇f(x,y)=(0,0) é x=0 e y=0, ou seja, (0,0) é o único ponto crítico de f.

Resposta

(0,0)

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