Seja
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Mostre que
é o único ponto crítico de
.
Mostre que
Passo 1
Temos a função f(x,y)=x⁴+2y⁴+2 e queremos encontrar seus pontos críticos, que são os pontos onde o gradiente de f é o vetor nulo. Vamos usar derivadas parciais para isso.
Passo 2
Definimos o gradiente de f como ∇f(x,y)=(∂f/∂x,∂f/∂y). Primeiro calculamos ∂f/∂x aplicando a regra da potência em x⁴:
Calculamos ∂f/∂x e ∂f/∂y separadamente:
Calculamos ∂f/∂x e ∂f/∂y separadamente:
Passo 3
Igualamos cada componente do gradiente a zero para achar os pontos críticos: 4x³=0 implica x=0; 8y³=0 implica y=0.
Passo 4
Concluímos que a única solução do sistema ∇f(x,y)=(0,0) é x=0 e y=0, ou seja, (0,0) é o único ponto crítico de f.
Resposta
(0,0)