Seja
.
Mostre, usando a definição, que
é ponto de mínimo local (e absoluto) de
.
Mostre, usando a definição, que
Passo 1
Estamos lidando com a função
e queremos provar, usando a definição de mínimo local, que
é ponto de mínimo local de
. Além disso, vamos mostrar que é também mínimo absoluto. Para isso precisaremos da definição:
é mínimo local se existe
tal que, sempre que
, tivermos
. Já o mínimo absoluto significa que
para todo
.
Passo 2
Primeiro, calculemos o valor de
em
:
Em seguida note que para quaisquer
vale:
e portanto
Passo 3
Para a parte de mínimo local, basta escolher qualquer
, por exemplo
. Se
, então
e
, o que implica novamente
e
, logo
Isso mostra que em todo disco de raio
centrado em
temos
, provando o mínimo local.
Passo 4
Para o mínimo absoluto, já vimos acima que para todos
temos
. Isso significa que não existe ponto em que
tome valor menor que
, logo
é também ponto de mínimo absoluto.