Seja f(x, y)=x^4+2 y^4+2.
Mostre, usando a definição, que (0,0) é ponto de mínimo local (e absoluto) de f.

Passo 1

Estamos lidando com a função f(x,y)=x^4+2y^4+2 e queremos provar, usando a definição de mínimo local, que (0,0) é ponto de mínimo local de f. Além disso, vamos mostrar que é também mínimo absoluto. Para isso precisaremos da definição: (0,0) é mínimo local se existe de0 tal que, sempre que raizx^2+y^2, tivermos f(x,y)>= f(0,0). Já o mínimo absoluto significa que f(x,y)>= f(0,0) para todo (x,y)inR^2.

Passo 2

Primeiro, calculemos o valor de f em (0,0):
f(0,0)=0^4+2cdot0^4+2=2
Em seguida note que para quaisquer x,yinR vale:
x^4>=0, 2y^4>=0
e portanto
f(x,y)=x^4+2y^4+2>=2=f(0,0)

Passo 3

Para a parte de mínimo local, basta escolher qualquer de0, por exemplo de. Se raizx^2+y^2<1, então |x|<1 e |y|<1, o que implica novamente x^4>=0 e 2y^4>=0, logo
f(x,y)>=2=f(0,0)
Isso mostra que em todo disco de raio de centrado em (0,0) temos f(x,y)>= f(0,0), provando o mínimo local.

Passo 4

Para o mínimo absoluto, já vimos acima que para todos (x,y)inR^2 temos f(x,y)>=2=f(0,0). Isso significa que não existe ponto em que f tome valor menor que 2, logo (0,0) é também ponto de mínimo absoluto.

Resposta

(0,0) é ponto de mínimo local e absoluto de f.

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