Seja f(x, y)=-x^4+y^4+1.
Mostre que (0,0) é o único ponto crítico de f.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função de duas variáveis f(x,y)=-x^4+y^4+1. Vamos usar o conceito de pontos críticos de funções multivariáveis, que são dados pelos pontos onde o gradiente de f é o vetor zero. Precisaremos calcular as derivadas parciais de f.

Passo 2

Para achar o gradiente de f, calculamos as derivadas parciais:
partial fpartial x = -4x^3,
partial fpartial y = 4y^3

Passo 3

Definimos o sistema nabla f(x,y) = (0,0), ou seja,
-4x^3 = 0, 4y^3 = 0

Passo 4

Das equações acima temos x^3=0 e y^3=0, o que implica x=0 e y=0. Portanto, o único ponto que anula ambas as derivadas parciais é (0,0).

Resposta

(0,0)

Exercícios relacionados