Seja
.
Mostre que
é o único ponto crítico de
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função de duas variáveis
. Vamos usar o conceito de pontos críticos de funções multivariáveis, que são dados pelos pontos onde o gradiente de
é o vetor zero. Precisaremos calcular as derivadas parciais de
.
Passo 2
Para achar o gradiente de
, calculamos as derivadas parciais:
Passo 3
Definimos o sistema
, ou seja,
Passo 4
Das equações acima temos
e
, o que implica
e
. Portanto, o único ponto que anula ambas as derivadas parciais é
.
Resposta
(0,0)