Seja f(x, y)=-3 x^4-y^4+7.
Mostre, usando a definição, que (0,0) é ponto de máximo local (e absoluto) de f.

Passo 1

O enunciado define a função f:R^2toR dada por f(x,y)=-3x^4-y^4+7. O que a gente quer mostrar é que (0,0) é ponto de máximo local (e na verdade máximo absoluto) de f, usando a definição de máximo.

Passo 2

Primeiro calculo o valor de f no ponto (0,0):
f(0,0)=-3cdot0^4-0^4+7=7

Passo 3

Agora note que para quaisquer (x,y)inR^2 vale x^4>=0 e y^4>=0. Dessa forma,
f(x,y)=-3x^4-y^4+7=7-(3x^4+y^4)<=7 Isto mostra que f(x,y)<= f(0,0) para todo (x,y), logo (0,0) é ponto de máximo absoluto.

Passo 4

Para ver a localidade, lembro a definição: (0,0) é ponto de máximo local se existe de0 tal que, sempre que raizx^2+y^2, temos f(x,y)<= f(0,0). Mas como já mostramos que f(x,y)<= f(0,0) para todo (x,y), basta escolher qualquer de0 (por exemplo de) e a condição é satisfeita.

Passo 5

Concluindo, como f(x,y)<=7=f(0,0) para todo (x,y), o ponto (0,0) é máximo absoluto de f e, em particular, máximo local.

Resposta

O ponto (0,0) é ponto de máximo absoluto (e, portanto, também máximo local) de f.

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