Seja
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Mostre, usando a definição, que
não é ponto de máximo local nem ponto de mínimo local de
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Mostre, usando a definição, que
Passo 1
O enunciado diz que temos a função f(x, y)=−x4+y4+1 e que queremos mostrar, usando a definição de extremo local, que (0,0) não é nem máximo local nem mínimo local. Para isso, precisamos do conceito: (0,0) é máximo local se existir δ>0 tal que para todo (x,y) com √(x²+y²)<δ temos f(x,y)≤f(0,0); e é mínimo local se existir δ>0 tal que para todo (x,y) com √(x²+y²)<δ temos f(x,y)≥f(0,0).
Passo 2
Para mostrar que (0,0) não é máximo local, fixamos qualquer δ>0 e achamos um ponto dentro da bola de raio δ onde f é maior que f(0,0). Tomemos (x,y)=(0,δ/2). Então √(0²+(δ/2)²)=δ/2<δ e
f(0,δ/2)=−04+(δ/2)4+1=1+(δ/2)^4>1=f(0,0).
Isso quebra a condição de máximo local, pois encontramos ponto arbitrariamente próximo onde f(x,y)>f(0,0).
f(0,δ/2)=−04+(δ/2)4+1=1+(δ/2)^4>1=f(0,0).
Isso quebra a condição de máximo local, pois encontramos ponto arbitrariamente próximo onde f(x,y)>f(0,0).
Passo 3
Para mostrar que (0,0) não é mínimo local, pegamos de novo qualquer δ>0 e escolhemos (x,y)=(δ/2,0). Nesse caso √((δ/2)²+0²)=δ/2<δ e
f(δ/2,0)=−(δ/2)4+04+1=1−(δ/2)^4<1=f(0,0).
Assim também falha a condição de mínimo local, pois há pontos próximos onde f(x,y)<f(0,0).
f(δ/2,0)=−(δ/2)4+04+1=1−(δ/2)^4<1=f(0,0).
Assim também falha a condição de mínimo local, pois há pontos próximos onde f(x,y)<f(0,0).
Resposta
Como em qualquer vizinhança de (0,0) existem pontos com f(x,y)>1 e pontos com f(x,y)<1, (0,0) não é nem máximo local nem mínimo local de f.