Seja f(x, y)=x^6+y^4-1.
Mostre que (0,0) é o único ponto crítico de f.

Passo 1

Nesse exercício vamos identificar os pontos críticos da função f(x,y)=x^6+y^4-1. O conteúdo aqui é derivadas parciais e gradiente: ponto crítico é onde ambas as derivadas parciais se anulam. Para resolver, vamos usar a regra de potência para derivar em relação a x e y.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f. Em relação a x, pela regra de potência, temos
partial fpartial x(x,y)=6x^5
Em relação a y, de modo análogo,
partial fpartial y(x,y)=4y^3

Passo 3

Agora impomos o sistema de ponto crítico: as derivadas parciais devem ser zero simultaneamente. Então temos
6x^5=0
4y^3=0
Da primeira equação vem x=0 e da segunda y=0. Logo, o único par (x,y) que satisfaz ambas é (0,0).

Resposta

(0,0)

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