Seja f(x, y)=x^6+y^4-1.
Mostre, usando a definição, -1 é valor mínimo local (e absoluto) de f.

Passo 1

Temos a função f definida por f(x,y)=x^6+y^4-1. O objetivo é provar, usando a definição de mínimo local e mínimo absoluto, que -1 é valor mínimo de f. Vamos precisar saber as definições: mínimo local em (0,0) significa existir de0 tal que, se 0, então f(x,y)>= f(0,0); mínimo absoluto significa que para todo (x,y)in R^2, f(x,y)>= f(0,0).

Passo 2

Primeiro, avaliamo-nos o valor de f no ponto (0,0):
f(0,0)=0^6+0^4-1=-1
Isso mostra que o valor em (0,0) é -1, candidato a mínimo.

Passo 3

Agora, note que para quaisquer x,yin R, as potências pares satisfazem:
x^6>=0 enquanto y^4>=0
Somando, temos x^6+y^4>=0. Logo, para todo (x,y):
f(x,y)=x^6+y^4-1>= -1 = f(0,0)

Passo 4

Para o mínimo local em (0,0), pelo enunciado da definição basta encontrar algum de0 tal que, se 0, então f(x,y)>= f(0,0)=-1. Mas demonstramos que essa desigualdade vale para todo (x,y), sem restrição. Portanto podemos escolher, por exemplo, de. Assim, em qualquer bola em torno de (0,0), temos f(x,y)>= -1. Isso mostra que -1 é mínimo local.

Passo 5

Para o mínimo absoluto, a definição pede apenas que para todo (x,y)in R^2 valha f(x,y)>= f(0,0)=-1. E isso também já foi provado sem restrição sobre (x,y). Logo, -1 é também o valor mínimo absoluto de f, atingido em (0,0).

Resposta

-1

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