Seja
.
Mostre, usando a definição, -1 é valor mínimo local (e absoluto) de
.
Mostre, usando a definição, -1 é valor mínimo local (e absoluto) de
Passo 1
Temos a função f definida por
. O objetivo é provar, usando a definição de mínimo local e mínimo absoluto, que
é valor mínimo de
. Vamos precisar saber as definições: mínimo local em
significa existir
tal que, se
, então
; mínimo absoluto significa que para todo
,
.
Passo 2
Primeiro, avaliamo-nos o valor de
no ponto
:
Isso mostra que o valor em
é
, candidato a mínimo.
Passo 3
Agora, note que para quaisquer
, as potências pares satisfazem:
Somando, temos
. Logo, para todo
:
Passo 4
Para o mínimo local em
, pelo enunciado da definição basta encontrar algum
tal que, se
, então
. Mas demonstramos que essa desigualdade vale para todo
, sem restrição. Portanto podemos escolher, por exemplo,
. Assim, em qualquer bola em torno de
, temos
. Isso mostra que
é mínimo local.
Passo 5
Para o mínimo absoluto, a definição pede apenas que para todo
valha
. E isso também já foi provado sem restrição sobre
. Logo,
é também o valor mínimo absoluto de
, atingido em
.
Resposta
-1