Seja
. Calcule a derivada direcional
, onde
aponta na direção e sentido de máximo crescimento de
, no ponto
. Qual o maior valor atingido por
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x, y) = x \arctan\left(\frac{x}{y}\right) $ e precisa calcular a derivada direcional $ \frac{\partial f}{\partial \vec{u}} $ no ponto (1,1). A direção
é aquela em que a função cresce mais rápido nesse ponto. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas parciais e gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. A derivada parcial em relação a $ x $ ($ f_x $) nos dá como a função muda quando variamos apenas $ x $, mantendo $ y $ constante. Da mesma forma, $ f_y $ é a derivada em relação a $ y $.
A função é:
Vamos derivar em relação a $ x $:
Simplificando:
Agora, vamos derivar em relação a $ y $:
Simplificando:
Passo 3
Agora que temos $ f_x $ e $ f_y $, vamos calcular o gradiente de $ f $, que é um vetor formado por essas derivadas:
No ponto (1,1):
Portanto:
Passo 4
A direção de máximo crescimento da função em um ponto é justamente a direção do vetor gradiente nesse ponto. Então, a direção
que queremos é a mesma do gradiente:
Para ter uma direção unitária, vamos normalizar
. Isso significa dividir cada componente por $ ||\nabla f|| $, que é o comprimento do vetor gradiente.
Primeiro, calculamos o comprimento:
Passo 5
Agora, para encontrar a derivada direcional na direção de
, usamos que:
Já que
é a direção do gradiente, a derivada direcional nessa direção é igual ao comprimento do gradiente. Vamos calcular esse valor no ponto (1,1):
Simplificando:
Resposta
O maior valor atingido por $ \frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(1,1) $ é $ \sqrt{ \left( \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{1}{4} } $.