Seja f(x, y)=x arctg(xy). Calcule a derivada direcional partial fpartial baru(1,1), onde u aponta na direção e sentido de máximo crescimento de f, no ponto (1,1). Qual o maior valor atingido por partial fpartial u(1,1) ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x, y) = x \arctan\left(\frac{x}{y}\right) $ e precisa calcular a derivada direcional $ \frac{\partial f}{\partial \vec{u}} $ no ponto (1,1). A direção f(x, y) = x arctan(xy) é aquela em que a função cresce mais rápido nesse ponto. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas parciais e gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. A derivada parcial em relação a $ x $ ($ f_x $) nos dá como a função muda quando variamos apenas $ x $, mantendo $ y $ constante. Da mesma forma, $ f_y $ é a derivada em relação a $ y $.
A função é:
f
Vamos derivar em relação a $ x $:
x
Simplificando:
y
Agora, vamos derivar em relação a $ y $:
x
Simplificando:
fx

Passo 3

Agora que temos $ f_x $ e $ f_y $, vamos calcular o gradiente de $ f $, que é um vetor formado por essas derivadas:
fx
No ponto (1,1):
fy
f
Portanto:
nabla f = ( fx, fy )

Passo 4

A direção de máximo crescimento da função em um ponto é justamente a direção do vetor gradiente nesse ponto. Então, a direção u que queremos é a mesma do gradiente:
u = nabla f(1,1)
Para ter uma direção unitária, vamos normalizar u. Isso significa dividir cada componente por $ ||\nabla f|| $, que é o comprimento do vetor gradiente.
Primeiro, calculamos o comprimento:
||nabla f||

Passo 5

Agora, para encontrar a derivada direcional na direção de u, usamos que:
partial fpartial u = ||nabla f||
Já que u é a direção do gradiente, a derivada direcional nessa direção é igual ao comprimento do gradiente. Vamos calcular esse valor no ponto (1,1):
partial fpartial u(1,1) = raiz ( pi4 + 12 )^2 + ( 12 )^2
Simplificando:
partial fpartial u(1,1) = raiz ( pi4 + 12 )^2 + 14

Resposta

O maior valor atingido por $ \frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(1,1) $ é $ \sqrt{ \left( \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{1}{4} } $.

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