Dados f(x) e g(x), encontre (f circ g)(x) e (g circ f)(x).
f(x)=(2 x+x^2)^4, g(x)=cos ^2 x

Passo 1

O exercício pede para calcular as composições de funções, tema: composição de funções. Vamos usar a definição (fcirc g)(x)=f(g(x)) e (gcirc f)(x)=g(f(x)), substituindo as expressões dadas para f(x) e g(x).

Passo 2

Para calcular (fcirc g)(x) substituímos u=g(x)=cos^2 x em f(u)=(2u+u^2)^4. Assim temos:
(fcirc g)(x)=(2cos^2 x+(cos^2 x)^2)^4
Podemos simplificar o termo dentro dos parênteses:
2cos^2 x+cos^4 x=cos^2 x,(2+cos^2 x)
Logo:
(fcirc g)(x)=[cos^2 x,(2+cos^2 x)]^4=cos^8 x,(2+cos^2 x)^4

Passo 3

Para calcular (gcirc f)(x) substituímos u=f(x)=(2x+x^2)^4 em g(u)=cos^2 u. Assim:
(gcirc f)(x)=cos^2l((2x+x^2)^4r)

Resposta

(f\circ g)(x)=\cos^8 x,(2+\cos^2 x)^4; \quad (g\circ f)(x)=\cos2\bigl((2x+x2)^4\bigr)

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