Seja
Obtenha
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada mista de terceira ordem
para a função
. Vamos usar regras de derivação parcial, em particular a regra da cadeia e a propriedade
.
Passo 2
Primeiro, derivamos
em relação a
. Como
, temos:
$$f_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^x\cos y\bigr)+\frac{\partial}{\partial x}\ln\bigl(x(5+y)\bigr).
E como
,
$$\frac{\partial}{\partial x}\ln(x(5+y))=\frac{1}{x}.
$$
Passo 3
Agora derivamos
em relação a
uma vez, para obter
. Temos:
$$f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^x\cos y+\tfrac{1}{x}\bigr).
$$
Passo 4
Por fim, derivamos
mais uma vez em relação a
para obter
. Como
$$f_{xy}=-e^x\sin y,
$$