Seja
f(x, y)=e^x cos (y)+ln (5 x+x y)
Obtenha
partial^3 f(x, y)partial x partial y^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada mista de terceira ordem partial^3 fpartial x,partial y^2 para a função f(x,y)=e^xcos(y)+ln(5x+xy). Vamos usar regras de derivação parcial, em particular a regra da cadeia e a propriedade ln(ab)=ln a+ln b.

Passo 2

Primeiro, derivamos f em relação a x. Como f(x,y)=e^xcos y+lnl(x(5+y)r), temos:
$$f_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^x\cos y\bigr)+\frac{\partial}{\partial x}\ln\bigl(x(5+y)\bigr).
fx=partialpartial xl(e^xcos yr)+partialpartial xlnl(x(5+y)r) \frac{\partial}{\partial x}(e^x\cos y)=e^x\cos y$$
E como partialpartial x(e^xcos y)=e^xcos y,
$$\frac{\partial}{\partial x}\ln(x(5+y))=\frac{1}{x}.
ln(x(5+y))=ln x+ln(5+y)f_x=e^x\cos y+\frac{1}{x}.
$$

Passo 3

Agora derivamos fx em relação a y uma vez, para obter fxy. Temos:
$$f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^x\cos y+\tfrac{1}{x}\bigr).
fxy=partialpartial yl(e^xcos y+tfrac1xr) éãé\frac{\partial}{\partial y}(e^x\cos y)=-e^x\sin y.
1/xf_{xy}=-e^x\sin y.
$$

Passo 4

Por fim, derivamos fxy mais uma vez em relação a y para obter fxyy=partial^3 fpartial x,partial y^2. Como
$$f_{xy}=-e^x\sin y,
fxy=-e^xsin y, f_{xyy}=\frac{\partial}{\partial y}(-e^x\sin y)=-e^x\cos y.
$$

Resposta

-e^xcos y

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