• Considere a função
h(x)= 4-2 x & , se x >= 3 1-x^23 & , se x<3
Calcule:
lim x 3^- h(x)-h(3)x-3

Passo 1

A questão pede o cálculo do limite lateral esquerdo de um quociente de diferença para a função por partes
O conteúdo envolve limites e a ideia de derivada pela definição de quociente de diferença
Vamos precisar identificar qual ramo de h(x) vale para x<3, calcular h(3) e montar
limxto3^-h(x)-h(3)x-3

Passo 2

Para achar h(3), usamos o ramo válido em x=3, que é o de x\ge3
h(3)=4-2cdot3=4-6=-2

Passo 3

Como x\to3^- (x<3), usamos o ramo h(x)=1-\frac{x^2}{3}. Então o numerador fica
h(x)-h(3)=l(1-x^23r)-(-2)=3-x^23

Passo 4

Escrevemos o quociente e o simplificamos
h(x)-h(3)x-3=3-x^23x-3 =9-x^23x-3 =9-x^23(x-3)

Passo 5

Fatorando 9-x^2 como -(x-3)(x+3) e simplificando (x-3) obtemos
9-x^23(x-3) =-(x-3)(x+3)3(x-3) =-x+33

Passo 6

Agora basta tomar o limite x\to3^- em -\frac{x+3}{3}:
-3+33=-63=-2

Resposta

-2

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