Utilize o método da questão 6 para encontrar a solução geral das equações abaixo.
(a)
, com solução particular
.
(a)
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a equação diferencial de Riccati
com solução particular
. Vamos usar o método de reduzir Riccati a uma equação linear a partir dessa solução particular.
Passo 2
Fazemos a substituição típica para Riccati quando conhecemos
:
Então
e substituímos em
Passo 3
Calculamos o lado direito:
Logo
Multiplicando por
obtemos a equação linear
Passo 4
Para resolver
identificamos o fator integrante
Multiplicando a equação por
dá
Passo 5
Integramos em relação a
:
onde
é constante de integração. Assim
Passo 6
Voltando a
, substituímos
:
Colocando no mesmo denominador:
logo
Passo 7
A solução geral é dada por
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Resposta
y(t)=\dfrac{3C + 2t^3}{3C - t^3}