Utilize o método da questão 6 para encontrar a solução geral das equações abaixo.
(a) y^prime=1t y^2+1t y-2t, com solução particular phi(t)=1.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a equação diferencial de Riccati
y'=1tl(y^2+y-2r)
com solução particular phi(t)=1. Vamos usar o método de reduzir Riccati a uma equação linear a partir dessa solução particular.

Passo 2

Fazemos a substituição típica para Riccati quando conhecemos phi(t):
y(t)=phi(t)+1u(t)=1+1u(t)
Então
y'= -1u^2,u'
e substituímos em
y'=1tl((1+tfrac1u)^2+(1+tfrac1u)-2r)

Passo 3

Calculamos o lado direito:
(1+tfrac1u)^2+(1+tfrac1u)-2 = 1+2,tfrac1u+tfrac1u^2+1+tfrac1u-2 = tfrac3u+tfrac1u^2
Logo
-u'u^2 = 1tl(tfrac3u+tfrac1u^2r) = 3t,u+1t,u^2
Multiplicando por u^2 obtemos a equação linear
u' + 3t,u = -1t

Passo 4

Para resolver
u' + 3t,u = -1t
identificamos o fator integrante
mu(t)=e^integral!3/t,dt=t^3
Multiplicando a equação por t^3
( t^3 u )' = -t^2

Passo 5

Integramos em relação a t:
t^3 u = integral(-t^2),dt = -t^33 + C,
onde C é constante de integração. Assim
u(t)= -13 + C,t^-3

Passo 6

Voltando a y=1+1/u, substituímos u(t):
y(t)=1+1-tfrac13+C,t^-3
Colocando no mesmo denominador:
-tfrac13+C,t^-3 = 3C - t^33,t^3,
logo
y(t)=1 + 3,t^33C - t^3 = 3C+2t^33C - t^3

Passo 7

A solução geral é dada por
y(t)=3C + 2,t^33C - t^3,
onde C é a constante de integração.

Passo 8

Resposta

y(t)=\dfrac{3C + 2t^3}{3C - t^3}

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