Seja f(x, y)=e^{2 x} sen (y). Determine o indicado a seguir.
f_{y}

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
f(x,y) = e^{2x}\,\operatorname{sen}(y)
e pede a derivada parcial de f em relação a y, denotada por f_{y}. Para isso, vamos usar a definição de derivada parcial, que diz que, ao derivar em relação a y, tratamos x como constante.

Passo 2

Escrevendo explicitamente a dependência em y, temos
f(x,y) = e^{2x}\,\operatorname{sen}(y).
Como e^{2x} não depende de y, podemos vê-lo como uma constante ao derivar. Assim, pela regra do produto (constante vezes função de y), obtemos
f_{y}(x,y) = e^{2x}\,\frac{d}{dy}\bigl[\operatorname{sen}(y)\bigr].

Passo 3

Sabemos que
\frac{d}{dy}\bigl[\operatorname{sen}(y)\bigr] = \cos(y).
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f_{y}(x,y) = e^{2x}\,\cos(y).

Resposta

f_{y}(x,y) = e^{2x}\,\cos(y).

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