Seja
.
Desenhe o gráfico de
e identifique as curvas de nível no gráfico da função.
Desenhe o gráfico de
Passo 1
O enunciado pede para desenhar o gráfico da função de duas variáveis
e, em seguida, identificar as curvas de nível (isto é, as projeções no plano
das interseções da superfície
com planos horizontais
). Vamos usar completamento de quadrados e o conceito de paraboloide e curvas de nível circulares.
Passo 2
Para visualizar melhor a superfície, completamos o quadrado em
:
Isso mostra que
.
Passo 3
Com isso vemos que o gráfico de
é um paraboloide elíptico (neste caso circular) cujo vértice está em
e que se abre para cima, pois
para todos
.
Passo 4
As curvas de nível correspondem às interseções da superfície com planos
. Para uma constante
, temos:
Isso é a equação de um círculo no plano
de centro
e raio
.
Resposta
O gráfico de
é um paraboloide circular com vértice em
e equação
. As curvas de nível para
são círculos dados por
, de centro
e raio
.