Seja f(x, y)=x^2-2 x+y^2+1.
Desenhe o gráfico de f e identifique as curvas de nível no gráfico da função.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o gráfico da função de duas variáveis f(x,y)=x^2-2x+y^2+1 e, em seguida, identificar as curvas de nível (isto é, as projeções no plano (x,y) das interseções da superfície z=f(x,y) com planos horizontais z=c). Vamos usar completamento de quadrados e o conceito de paraboloide e curvas de nível circulares.

Passo 2

Para visualizar melhor a superfície, completamos o quadrado em x:
f(x,y)=x^2-2x+y^2+1=(x-1)^2-1+y^2+1=(x-1)^2+y^2
Isso mostra que z=f(x,y)=(x-1)^2+y^2.

Passo 3

Com isso vemos que o gráfico de f é um paraboloide elíptico (neste caso circular) cujo vértice está em (x,y,z)=(1,0,0) e que se abre para cima, pois z>=0 para todos (x,y).

Passo 4

As curvas de nível correspondem às interseções da superfície com planos z=c. Para uma constante c>=0, temos:
(x-1)^2+y^2=c
Isso é a equação de um círculo no plano (x,y) de centro (1,0) e raio raizc.

Resposta

O gráfico de f é um paraboloide circular com vértice em (1,0,0) e equação z=(x-1)^2+y^2. As curvas de nível para z=c são círculos dados por (x-1)^2+y^2=c, de centro (1,0) e raio raizc.

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