Seja f(x, y)=x^2-2 x+y^2+1.
Determine uma equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 1 e ordenada 3.

Passo 1

Primeiro a gente resume o que o problema pede: temos a função de duas variáveis f(x,y)=x^2-2x+y^2+1 e queremos o plano tangente ao gráfico de z=f(x,y) no ponto de abscissa 1 e ordenada 3. O assunto é derivadas parciais e plano tangente, usando a fórmula
z - z0 = fx(x0,y0)(x - x0) + fy(x0,y0)(y - y0)
em que (x0,y0,z0)=(1,3,f(1,3)).

Passo 2

Agora a gente calcula o valor de f no ponto (1,3):
f(1,3) = 1^2 - 2cdot1 + 3^2 + 1 = 1 - 2 + 9 + 1 = 9
Logo o ponto no gráfico é (1,3,9).

Passo 3

Em seguida achamos as derivadas parciais de f:
fx(x,y) = partialpartial x(x^2 - 2x + y^2 + 1) = 2x - 2,
fy(x,y) = partialpartial y(x^2 - 2x + y^2 + 1) = 2y

Passo 4

Agora avaliamos em (1,3):
fx(1,3) = 2cdot1 - 2 = 0,
fy(1,3) = 2cdot3 = 6

Passo 5

Por fim montamos a equação do plano tangente usando
z - z0 = fx(1,3)(x-1) + fy(1,3)(y-3)
Substituindo z0=9, fx(1,3)=0 e fy(1,3)=6, vem:
z - 9 = 0,(x-1) + 6,(y-3)
Simplificando, obtemos:
z = 9 + 6y - 18 = 6y - 9

Resposta

z = 6y - 9

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