Seja f(x, y)=x^2 y^2x^2+y^2
Calcule as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y em um ponto (x, y) neq(0,0).

Passo 1

O enunciado define a função de duas variáveis
f(x,y)=x^2y^2x^2+y^2,
eu quero calcular as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y em qualquer ponto (x,y)neq(0,0). Vamos usar a regra do quociente, pois f(x,y)=g(x,y)/h(x,y) onde g(x,y)=x^2y^2 e h(x,y)=x^2+y^2.

Passo 2

Para encontrar partial fpartial x trato y como constante e aplico a regra do quociente:
partial fpartial x=partial gpartial x,h - g,partial hpartial xh^2
Aqui temos
partial gpartial x=2x y^2, partial hpartial x=2x
Substituindo e simplificando o numerador:
(2x y^2)(x^2+y^2)-x^2y^2,(2x)=2x y^2(x^2+y^2)-2x x^2y^2=2x y^4
Logo,
partial fpartial x=2x y^4(x^2+y^2)^2

Passo 3

Para a derivada parcial partial fpartial y trato x como constante. Ainda uso a regra do quociente:
partial fpartial y=partial gpartial y,h - g,partial hpartial yh^2
Aqui
partial gpartial y=2y x^2, partial hpartial y=2y
No numerador:
(2y x^2)(x^2+y^2)-x^2y^2,(2y)=2y x^2(x^2+y^2)-2y x^2y^2=2y x^4
Portanto,
partial fpartial y=2y x^4(x^2+y^2)^2

Resposta

As derivadas parciais são
$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2x y4}{(x2+y2)2},\quad
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{2y x4}{(x2+y2)2},$$
em qualquer ponto partial fpartial x=2x y^4(x^2+y^2)^2, partial fpartial y=2y x^4(x^2+y^2)^2,.

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