Calcule a integral de superfície
onde S é a parte do plano
que está no primeiro octante.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
sobre a parte do plano
no primeiro octante. O conteúdo é integral de superfície de uma função escalar e vamos precisar parametrizar a superfície, obter o elemento de área
em termos de coordenadas
e montar a integral dupla.
Passo 2
Parametrizamos a superfície usando
como parâmetros:
Passo 3
Para obter
calculamos os vetores parciais e seu produto vetorial. Como
tem derivadas
e
, o fator de área é
Passo 4
Substituímos no integrando:
Assim a integral de superfície vira
onde
Passo 5
O domínio
não tem limite superior em
nem em
, então avaliamos a convergência da integral
Cada termo (por exemplo
Resposta
A integral diverge (é infinita), pois a região de integração é não limitada e a integral dupla resultante não converge.