Calcule a integral de superfície integral duplaS y z d S onde S é a parte do plano z=1+2 x+3 y que está no primeiro octante.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície integral duplaS y,z,dS sobre a parte do plano z=1+2x+3y no primeiro octante. O conteúdo é integral de superfície de uma função escalar e vamos precisar parametrizar a superfície, obter o elemento de área dS em termos de coordenadas (x,y) e montar a integral dupla.

Passo 2

Parametrizamos a superfície usando (x,y) como parâmetros:
r(x,y)=(x,,y,,1+2x+3y), x>=0,;y>=0

Passo 3

Para obter dS calculamos os vetores parciais e seu produto vetorial. Como z=1+2x+3y tem derivadas zx=2 e zy=3, o fator de área é
dS=raiz1+zx^2+zy^2,dx,dy=raiz1+2^2+3^2,dx,dy=raiz14,dx,dy

Passo 4

Substituímos no integrando: y,z,dS=y(1+2x+3y)raiz14,dx,dy Assim a integral de superfície vira
integral duplaSy,z,dS=raiz14integral duplaDy(1+2x+3y),dx,dy,
onde D=(x,y):x>=0,,y>=0.

Passo 5

O domínio D não tem limite superior em x nem em y, então avaliamos a convergência da integral
integral0^inftyintegral0^inftyy(1+2x+3y),dx,dy
Cada termo (por exemplo integral0^inftyintegral0^infty2xy,dx,dy) diverge para +infty. Logo a integral é divergente.

Resposta

A integral diverge (é infinita), pois a região de integração é não limitada e a integral dupla resultante não converge.

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