Seja
.
(b) Determine o valor máximo e mínimo globais na região
limitada pelo triângulo de vértices nos pontos
e
.
(b) Determine o valor máximo e mínimo globais na região
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
. A questão pede para encontrar os valores máximo e mínimo dessa função dentro da região
, que é um triângulo formado pelos pontos
,
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, como encontrar pontos críticos e analisar as bordas da região.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os pontos críticos da função dentro da região
. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
Agora, igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 3
Da segunda equação
, podemos fatorar
:
Isso nos dá duas possibilidades:
Vamos analisar cada caso.
Passo 4
Caso 1:
Substituindo
na primeira equação
:
Então,
ou
.
Portanto, temos dois pontos críticos:
e
.
Passo 5
Caso 2:
Substituindo
na primeira equação
:
Vamos resolver essa equação quadrática para
:
Então,
ou
.
Portanto, temos mais dois pontos críticos:
e
.
Passo 6
Agora, precisamos verificar quais desses pontos estão dentro da região
, que é o triângulo com vértices em
,
e
.
Analisando:
-
e estão claramente nos vértices do triângulo. -
também está no vértice. -
está dentro do triângulo.
Passo 7
Agora, vamos calcular o valor da função
nesses pontos críticos:
Calculando
:
Passo 8
Além dos pontos críticos internos, precisamos analisar os valores da função nas bordas do triângulo, já que os máximos e mínimos podem ocorrer lá.
As bordas são:
- De
a : - De
a : - De
a :
Vamos analisar cada uma.
Passo 9
Borda 1:
Aqui, a função fica:
Então, em toda essa borda,
.
Borda 2:
Substituindo na função:
Vamos simplificar isso:
Portanto, nessa borda,
.
Borda 3:
Substituindo na função:
Então, nessa borda também,
.
Passo 10
Finalmente, juntando tudo:
- Nos pontos internos, o único valor diferente foi
. - Nas bordas e nos outros pontos críticos,
.
Resposta
O valor máximo global na região
é
e o valor mínimo global é
.