Seja f(x, y)=x^3-x^2-x y^2+x y.
(b) Determine o valor máximo e mínimo globais na região D limitada pelo triângulo de vértices nos pontos (0,0),(0,1) e (1 / 2,1 / 2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função . A questão pede para encontrar os valores máximo e mínimo dessa função dentro da região , que é um triângulo formado pelos pontos , e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, como encontrar pontos críticos e analisar as bordas da região.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os pontos críticos da função dentro da região partial fpartial x = 3x^2 - 2x - y^2 + y . Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a partial fpartial y = -2xy + x e 3x^2 - 2x - y^2 + y = 0 (1) são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
-2xy + x = 0 (2)
Agora, igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 3

Da segunda equação x(-2y + 1) = 0 , podemos fatorar :
Isso nos dá duas possibilidades:
Vamos analisar cada caso.

Passo 4

Caso 1: 3(0)^2 - 2(0) - y^2 + y = 0 Rightarrow -y^2 + y = 0 Rightarrow y(y - 1) = 0
Substituindo na primeira equação :
Então, ou .
Portanto, temos dois pontos críticos: e .

Passo 5

Caso 2: 3x^2 - 2x - (12)^2 + 12 = 0
Substituindo 3x^2 - 2x - 14 + 12 = 0 na primeira equação 3x^2 - 2x + 14 = 0 :
x = 2 pm raiz4 - 36 = 2 pm 16
Vamos resolver essa equação quadrática para :
Então, ou .
Portanto, temos mais dois pontos críticos: e .

Passo 6

Agora, precisamos verificar quais desses pontos estão dentro da região , que é o triângulo com vértices em , e .
Analisando:
  • e estão claramente nos vértices do triângulo.
  • também está no vértice.
  • está dentro do triângulo.

Passo 7

Agora, vamos calcular o valor da função 1216 - 6216 - 9216 + 18216 = 1 - 6 - 9 + 18216 = 4216 = 154 nesses pontos críticos:
Calculando :

Passo 8

Além dos pontos críticos internos, precisamos analisar os valores da função nas bordas do triângulo, já que os máximos e mínimos podem ocorrer lá.
As bordas são:
  1. De a :
  2. De a :
  3. De a :
Vamos analisar cada uma.

Passo 9

Borda 1: f(0, y) = 0^3 - 0^2 - 0 cdot y^2 + 0 cdot y = 0
Aqui, a função fica:
f(x, -x + 1) = x^3 - x^2 - x(-x + 1)^2 + x(-x + 1)
Então, em toda essa borda, f(x, -x + 1) = x^3 - x^2 - x(x^2 - 2x + 1) + x(-x + 1) = x^3 - x^2 - x^3 + 2x^2 - x + (-x^2 + x) = (x^3 - x^3) + (-x^2 + 2x^2 - x^2) + (-x + x) = 0 .
Borda 2: f(x, x) = x^3 - x^2 - x cdot x^2 + x cdot x = x^3 - x^2 - x^3 + x^2 = 0
Substituindo na função:
Vamos simplificar isso:
Portanto, nessa borda, .
Borda 3:
Substituindo na função:
Então, nessa borda também, .

Passo 10

Finalmente, juntando tudo:
  • Nos pontos internos, o único valor diferente foi .
  • Nas bordas e nos outros pontos críticos, .

Resposta

O valor máximo global na região é e o valor mínimo global é .

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