Seja
.
Mostre que
é o único ponto crítico de
.
Mostre que
Passo 1
Estamos buscando os pontos críticos da função
. O conteúdo aqui é derivadas parciais e gradiente, e vamos precisar usar a definição de ponto crítico: é onde o vetor gradiente de
se anula.
Passo 2
Para calcular as derivadas parciais, começamos por
. Temos
Agora a derivada parcial em relação a
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos o sistema
o que dá
$$
-12x^3 = 0 \implies x^3 = 0 \implies x = 0,
$$
Passo 4
Concluímos que o único ponto onde o gradiente se anula é
, portanto é o único ponto crítico de
.
Resposta
(0,0)