Seja f(x, y)=-3 x^4-y^4+7.
Mostre que (0,0) é o único ponto crítico de f.

Passo 1

Estamos buscando os pontos críticos da função f(x,y) = -3x^4 - y^4 + 7. O conteúdo aqui é derivadas parciais e gradiente, e vamos precisar usar a definição de ponto crítico: é onde o vetor gradiente de f se anula.

Passo 2

Para calcular as derivadas parciais, começamos por x. Temos
partial fpartial x = partialpartial x(-3x^4 - y^4 + 7) = -12x^3
Agora a derivada parcial em relação a y:
partial fpartial y = partialpartial y(-3x^4 - y^4 + 7) = -4y^3

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, resolvemos o sistema
partial fpartial x = 0, partial fpartial y = 0
o que dá
$$
-12x^3 = 0 \implies x^3 = 0 \implies x = 0,
$$
-12x^3 = 0 implies x^3 = 0 implies x = 0,

Passo 4

Concluímos que o único ponto onde o gradiente se anula é (0,0), portanto é o único ponto crítico de f.

Resposta

(0,0)

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