Utilizando (ou não, dependendo da conveniência) o teorema de Stokes, calcule integral duplasigma nabla times F cdot n d S, assumindo n
F(x, y, z)=y i+x^2 j+z k, sigma(u, v)=(u, v, 2 u+v+1) com u >= 0 e u+v <= 2 sendo n a normal apontando para cima.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície integral duplasigma(nablatimes F)cdot n,dS, onde
F(x,y,z)=y,i+x^2,j+z,k,
• a superfície é dada por sigma(u,v)=(u,v,2u+v+1) com domínio triangular em (u,v): u>=0, v>=0, u+v<=2,
e a normal n aponta para cima. Vamos precisar de:
  1. calcular nablatimes F,
  2. obter o vetor normal pela parametrização rutimes rv,
  3. montar a integral dupla em (u,v) sobre o triângulo.

Passo 2

Calculamos o rotacional de F:
[
\nabla\times F=
i&j&k partialx&partialy&partialz y&x^2&z
=\bigl(0,0,2x-1\bigr).

Passo 3

Da parametrização r(u,v)=(u,v,2u+v+1) temos
ru=(1,0,2), rv=(0,1,1)
O produto vetorial orientado para cima é
rutimes rv = i&j&k 1&0&2 0&1&1 =(-2,-1,1),
cuja componente em k é positiva.

Passo 4

O integrando fica
(nablatimes F)l(r(u,v)r)cdotl(rutimes rvr) =(0,0,2u-1)cdot(-2,-1,1) =2u-1

Passo 5

Agora montamos a integral dupla sobre o triângulo D:0<= u<=2, 0<= v<=2-u:
integral duplasigma(nablatimes F)cdot n,dS =integralu=0^2integralv=0^2-u(2u-1),dv,du
Integramos em v: integral0^2-u(2u-1)dv=(2u-1)(2-u), e depois em u:
integral0^2(2u-1)(2-u),du =integral0^2(5u-2u^2-2),du =l[tfrac52u^2-tfrac23u^3-2ur]0^2 =tfrac23

Resposta

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