Seja f(x, y)=x^2 y cdot sen(4 x^3 y^5) Calcule:
partial fpartial y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x, y) = x^{2} y \cdot \sin\left(4 x^{3} y^{5}\right) $ e precisamos calcular a derivada parcial dessa função em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Vamos usar regras de derivação como o produto e a cadeia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, identifica que a função $ f(x, y) $ é um produto de duas partes: $ u = x^{2} y $ e $ v = \sin\left(4 x^{3} y^{5}\right) $. Para derivar $ f $ em relação a $ y $, vamos usar a regra do produto, que diz que f(x, y) .

Passo 3

Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, derivamos $ u = x^{2} y $ em relação a $ y $:
u = x^2 y
Isso porque $ x^{2} $ é constante em relação a $ y $, e a derivada de $ y $ é 1.

Passo 4

Agora, vamos derivar $ v = \sin\left(4 x^{3} y^{5}\right) $ em relação a $ y $. Aqui usamos a regra da cadeia. A derivada de $ \sin(g(y)) $ é $ \cos(g(y)) \cdot g’(y) $, onde $ g(y) = 4 x^{3} y^{5} $:
v = sin(4 x^3 y^5)
Calculando $ \frac{\partial}{\partial y}\left(4 x^{3} y^{5}\right) $:
y
Então,
sin(g(y))

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do produto que mencionamos:
partial fpartial y = u cdot partial vpartial y + v cdot partial upartial y
Substituindo $ u $, $ \frac{\partial u}{\partial y} $, $ v $, e $ \frac{\partial v}{\partial y} $:
u

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
Primeiro termo:
x^2 y cdot 20 x^3 y^4 = 20 x^5 y^5
Então, a expressão fica:
partial fpartial y = 20 x^5 y^5 cos(4 x^3 y^5) + x^2 sin(4 x^3 y^5)

Resposta

A derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
f

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