Seja f(x, y)=5 x^8 y^3-7 x^4 y+12 x^5 Calcule:
partial fpartial y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x, y) = 5x^{8} y^{3} - 7x^{4} y + 12x^{5} $ e precisamos calcular a derivada parcial dessa função em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Isso faz parte do estudo de derivadas parciais, onde a gente foca em como a função muda quando só uma variável varia, mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para derivar uma função em relação a $ y $, tratamos $ x $ como se fosse uma constante. Vamos olhar cada termo da função $ f(x, y) $ separadamente e derivar em relação a $ y $.

Passo 3

Vamos começar com o primeiro termo: $ 5x^{8} y^{3} $.
A regra que usamos aqui é a da derivada de uma potência. A derivada de $ y^{n} $ em relação a $ y $ é $ n y^{n-1} $.
Então, derivando $ 5x^{8} y^{3} $:
5x^8 y^3

Passo 4

Agora, vamos para o segundo termo: $ -7x^{4} y $.
Aqui, a derivada de $ y $ em relação a $ y $ é 1. Então, aplicando a regra:
-7x^4 y

Passo 5

Por último, temos o terceiro termo: $ 12x^{5} $.
Como esse termo não depende de $ y $, ou seja, não tem $ y $ nele, a derivada dele em relação a $ y $ é 0.
12x^5

Resposta

Juntando tudo, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
f

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