Seja
Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x, y) = 5x^{8} y^{3} - 7x^{4} y + 12x^{5} $ e precisamos calcular a derivada parcial dessa função em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Isso faz parte do estudo de derivadas parciais, onde a gente foca em como a função muda quando só uma variável varia, mantendo a outra constante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para derivar uma função em relação a $ y $, tratamos $ x $ como se fosse uma constante. Vamos olhar cada termo da função $ f(x, y) $ separadamente e derivar em relação a $ y $.
Passo 3
Vamos começar com o primeiro termo: $ 5x^{8} y^{3} $.
A regra que usamos aqui é a da derivada de uma potência. A derivada de $ y^{n} $ em relação a $ y $ é $ n y^{n-1} $.
Então, derivando $ 5x^{8} y^{3} $:
Passo 4
Agora, vamos para o segundo termo: $ -7x^{4} y $.
Aqui, a derivada de $ y $ em relação a $ y $ é 1. Então, aplicando a regra:
Passo 5
Por último, temos o terceiro termo: $ 12x^{5} $.
Como esse termo não depende de $ y $, ou seja, não tem $ y $ nele, a derivada dele em relação a $ y $ é 0.
Resposta
Juntando tudo, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é: