Seja f(x, y)=x^2 y. Determinar, usando a definição, partial fpartial x(1,2).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^2y
e pede a derivada parcial de f em relação a x no ponto (1,2) usando a definição de derivada parcial.

Passo 2

A definição de derivada parcial de f em relação a x no ponto (a,b) é
partial fpartial x(a,b) =limhto0f(a+h,b)-f(a,b)h
Aqui temos a=1 e b=2.

Passo 3

Calculemos f(1+h,2) e f(1,2):
f(1+h,2)=(1+h)^2cdot2 =2l(1+2h+h^2r) =2+4h+2h^2,
f(1,2)=1^2cdot2=2

Passo 4

Montamos o quociente para a definição:
f(1+h,2)-f(1,2)h =(2+4h+2h^2)-2h =4h+2h^2h =4+2h

Passo 5

Tomando o limite quando hto0:
partial fpartial x(1,2) =limhto0(4+2h) =4

Resposta

partial fpartial x(1,2)=4

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